函数論：u=1/2 log(x^2+y^2) の調和性と対応する正則関数の求め方

函数論において、u=1/2 log(x^2+y^2) が z≠0 で調和であることの確認と、半平面 d={x|x>0} 上で u を実部とする正則関数 f の求め方について解説します。

u の調和性の確認

関数 u(x,y) = 1/2 log(x^2+y^2) は偏微分可能です。調和関数であるためには、ラプラス方程式 Δu = u_xx + u_yy = 0 を満たす必要があります。

偏微分を計算すると、u_x = x/(x^2+y^2)、u_y = y/(x^2+y^2)、さらに二階偏微分 u_xx = (y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2、u_yy = (x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2 となり、u_xx + u_yy = 0 が成立します。したがって u は z≠0 で調和です。

正則関数の条件

u を実部とする正則関数 f = u + iv を求めるには、コーシー・リーマン方程式を使います。u_x = v_y、u_y = -v_x です。

u_x = x/(x^2+y^2) なので v_y = x/(x^2+y^2)、u_y = y/(x^2+y^2) なので v_x = -y/(x^2+y^2) となります。

虚部 v の求め方

v_y = x/(x^2+y^2) を y について積分すると v = arctan(y/x) + φ(x) となります。さらに v_x = -y/(x^2+y^2) を満たすために、φ'(x)=0 であることが分かります。したがって v = arctan(y/x) です。

正則関数 f の構成

これにより、f(z) = u + iv = 1/2 log(x^2+y^2) + i arctan(y/x) = log(z) が得られます。ここで z = x + iy です。

さらに条件 f(1)=0 を満たすため、定数項を調整して f(z) = log(z) – log(1) = log(z) とすれば条件を満たします。

まとめ

u=1/2 log(x^2+y^2) は z≠0 で調和であり、半平面 x>0 上で u を実部とする正則関数は f(z) = log(z) です。虚部は arctan(y/x) で表され、コーシー・リーマン方程式に従うことで正則性が確認できます。