式 (a+b)^3(a-b)^3 がなぜ (a^2-b^2)^3 と同じになるのか、疑問に思う方は多いです。この関係は、二項式の積の性質と因数分解の基本から理解できます。本記事では順を追って解説します。
積の性質を使った考え方
まず、(a+b)^3(a-b)^3 は (a+b)(a-b) の積を3乗する形に書き換えることができます。つまり、(a+b)^3(a-b)^3 = [(a+b)(a-b)]^3 です。
この書き換えは、指数の法則 a^m b^m = (ab)^m に基づいています。ここでは m=3、a=(a+b)、b=(a-b) となります。
二項式の差の積の展開
(a+b)(a-b) は二乗差の公式で a^2 – b^2 となります。したがって [(a+b)(a-b)]^3 = (a^2 – b^2)^3 です。
つまり、元の式の両方の因子をまとめてから3乗することで簡潔に因数分解できます。
具体例で確認
例えば a=2, b=1 の場合、左辺は (2+1)^3(2-1)^3 = 3^3 × 1^3 = 27 です。
右辺は (2^2 – 1^2)^3 = (4 – 1)^3 = 3^3 = 27 となり、確かに一致します。どの値でもこの法則は成立します。
覚えておくポイント
1. (x+y)^n(x-y)^n = [(x+y)(x-y)]^n という指数の法則を活用する
2. 二項式の積 (x+y)(x-y) は x^2 – y^2 に展開できる
3. これを組み合わせると、(a+b)^3(a-b)^3 = (a^2-b^2)^3 が導ける
まとめ
(a+b)^3(a-b)^3 は指数法則と二項式の差の積の公式を使えば簡単に (a^2-b^2)^3 と表せます。展開の順序を意識することで、因数分解や式の簡略化がスムーズに行えます。
コメント