この記事では、数学の問題「3×9^(x)-28×3^(x)+9>0」の解法を解説します。途中の計算式も詳しく説明しますので、どのように解いたかを順を追って確認しましょう。
1. 問題の整理と式の変形
まず、問題文を確認します：3×9^(x)-28×3^(x)+9>0です。この式の中で、9^(x)は3のべき乗であるため、9^(x) = (3^2)^(x) = 3^(2x) となります。これを使って式を簡単にしていきます。
式を変形すると、次のようになります。
3×3^(2x) – 28×3^(x) + 9 > 0
ここで、新しい変数を使って簡略化することが有効です。3^(x) を t とおくと、t^2 = 3^(2x) となります。すると、式は次のようになります。
3t^2 – 28t + 9 > 0
2. 2次方程式として解く
この式はtに関する2次方程式です。これを解くために、まず解の公式を使って解きます。2次方程式の解の公式は、次のようになります。
t = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / 2a
ここで、a = 3、b = -28、c = 9です。この値を代入すると。
t = (28 ± √((-28)^2 – 4×3×9)) / (2×3)
t = (28 ± √(784 – 108)) / 6
t = (28 ± √676) / 6
t = (28 ± 26) / 6
これにより、tの解は2つ得られます。
t = (28 + 26) / 6 = 54 / 6 = 9
t = (28 – 26) / 6 = 2 / 6 = 1/3
3. 3^(x)に戻して解を求める
t = 3^(x) ですので、tの解を3^(x)に戻してxの値を求めます。
最初に、t = 9のとき。
3^(x) = 9 となり、x = 2です。
次に、t = 1/3のとき。
3^(x) = 1/3 となり、x = -1です。
4. 結論と最大値の求め方
xの解は、x = 2 および x = -1 です。問題は、xの最大値を求めるものでしたので、最大値はx = 2です。
したがって、与えられた不等式「3×9^(x)-28×3^(x)+9>0」の解は、xが2のとき最大値となります。
5. まとめ：順を追って解く方法
この問題を解くためには、まず式を適切に変形し、2次方程式に帰着させました。その後、解の公式を使い、t = 3^(x) に戻して解を求めました。結果として、x = 2が最大値であることがわかりました。
このように、問題を整理し、順を追って計算していくことで、複雑に見える式でも解くことができます。
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