Rⁿにおけるジョルダン可測集合と境界の可測性について

数学におけるジョルダン可測性は、集合の体積や測度を定義するために重要な概念です。Rⁿの集合Eがジョルダン可測である場合、その境界∂Eがジョルダン可測であるかについて解説します。

ジョルダン可測集合の定義

集合E⊆Rⁿがジョルダン可測であるとは、Eの外接する直方体で近似した上で、その体積の上限と下限が一致する場合をいいます。直感的には、集合の「体積」がきちんと定義できることです。

集合Eの境界∂Eは、Eとその補集合の交わる部分で構成されます。ジョルダン可測性の重要な性質として、集合Eがジョルダン可測であれば、境界∂Eの体積（n次元測度）は0になります。

境界∂Eは、体積が0であるため、ジョルダン可測とみなすことができます。これは、ジョルダン可測集合の定義において、測度0の集合は可測であるという性質から導かれます。

したがって、Rⁿの集合Eがジョルダン可測であれば、その境界∂Eもジョルダン可測です。

例えば、単位立方体E = [0,1]ⁿはジョルダン可測です。その境界∂Eは立方体の面で構成されますが、n次元の体積としては0です。従って、境界もジョルダン可測となります。

結論として、Rⁿにおけるジョルダン可測集合の境界は常にジョルダン可測です。これは、ジョルダン可測性の基本性質に基づいており、境界の体積が0であることから導かれます。集合の測度を考える際、この性質を利用すると便利です。