漸化式の基本パターンと覚えておくべきポイントまとめ

漸化式は、数列の項を前の項で表す方法で、数学の問題でよく使われます。覚えるべき基本パターンを押さえておけば、多くの問題に対応可能です。

1. 等差数列の漸化式

等差数列では、前の項に一定の差dを足すことで次の項を求められます。漸化式は

a_{n+1} = a_n + d

で表されます。例：1, 3, 5, 7,… → a_{n+1} = a_n + 2

等比数列では、前の項に一定の比rをかけることで次の項を求めます。漸化式は

a_{n+1} = r * a_n

で表されます。例：2, 4, 8, 16,… → a_{n+1} = 2 * a_n

一般的な1次の線形漸化式は

a_{n+1} = p * a_n + q

の形で表されます。等差数列はq≠0, p=1の特殊例、等比数列はq=0, p≠0の特殊例です。

漸化式だけでなく、初項a_1を覚えることが重要です。初項と漸化式があれば、数列の任意の項を計算できます。一般項を求める公式もセットで覚えておくと便利です。

例：a_{n+1} = a_n + 3, a_1 = 2 → 一般項 a_n = 2 + 3*(n-1)

・等差数列と等比数列は漸化式の基本パターン。

・線形漸化式の形 a_{n+1} = p*a_n + q を理解する。

・初項を忘れないようにする。

・必要に応じて一般項を導けるようにする。

漸化式の問題では、まず等差・等比・線形の3パターンを押さえ、初項を確認することが基本です。これだけ覚えておけば、多くの中学・高校レベルの漸化式の問題に対応可能です。