上半平面を上半平面に写す一次変換の一般形

複素解析において、虚部が正の複素数平面（上半平面）を別の上半平面に写像する一次変換は、モビウス変換（線形分数変換）の一種として表されます。ここではその一般型と導出方法を解説します。

一次変換（モビウス変換）の一般形

一次変換は次の形で表されます。

w = f(z) = (az + b) / (cz + d)

ここで a, b, c, d は複素数であり、ad – bc ≠ 0 です。この変換は複素平面上の円や直線を円や直線に写します。

上半平面 Im z > 0 を上半平面 Im w > 0 に写すためには、係数 a, b, c, d は実数で、かつ ad – bc > 0 である必要があります。つまり。

この条件を満たすと、変換 f(z) は上半平面を保存します。

上半平面を上半平面に写す変換は、特に次の形でも表せます。

w = (az + b)/(cz + d), a, b, c, d ∈ ℝ, ad – bc > 0

この形により、任意の上半平面内の点を別の上半平面内の点に対応させることができます。

上半平面を上半平面に写す一次変換の一般形はモビウス変換であり、係数が実数で行列式が正であることが条件です。具体的には w = (az + b)/(cz + d), a, b, c, d ∈ ℝ, ad – bc > 0 という形で表されます。