円弧二角形を半平面に写像する函数の求め方

複素解析における函数論では、円弧二角形の内部を半平面へ写像するには、シュワルツ・クリストッフ写像を利用するのが基本です。ここでは頂点 a, b を持ち、内角 α (0<α<π) を持つ円弧二角形の写像関数の構成を解説します。

シュワルツ・クリストッフ写像の基本形

シュワルツ・クリストッフ写像は、上半平面から多角形への写像を構成する公式です。一般に、多角形の頂点 w₁, w₂, …, w_n に対し、上半平面の点 z₁, z₂, …, z_n を対応させると、写像関数 f(z) は次の形を取ります。

f'(z) = C Π (z – z_k)^(α_k/π – 1)

ここで α_k は頂点 k の内角、C は定数です。

円弧二角形の場合

円弧二角形は 2 つの頂点 a, b と内角 α を持つので、頂点は z₁ = a, z₂ = b に対応します。シュワルツ・クリストッフ写像の微分形は次のように簡略化できます。

f'(z) = C (z – a)^(α/π – 1) (z – b)^(α/π – 1)

これを積分すると半平面への写像 f(z) が得られます。

写像関数の例

積分すると f(z) = ∫ C (ζ – a)^(α/π – 1) (ζ – b)^(α/π – 1) dζ となり、C は適宜定めます。これにより、円弧二角形内部が上半平面に写されます。

まとめ

円弧二角形の内部を半平面に写像するには、シュワルツ・クリストッフ写像を用いて頂点 a, b と内角 α を指数として写像関数を構成します。微分形 f'(z) = C (z – a)^(α/π – 1) (z – b)^(α/π – 1) を積分することで、半平面への具体的な写像 f(z) が得られます。