三角関数の加法定理でβを-βに置き換えてもよい理由と図の理解

三角関数の加法定理は、角度の和や差に対して成立する基本的な公式です。cos(α+β)の公式からcos(α-β)を導く際にβを-βと置き換えるのは、公式の性質を利用するためです。

加法定理の基本公式

加法定理では次の式が成立します。

ここで、角度に負の値を代入しても、三角関数の偶奇性により正しく変換できます。

cos関数は偶関数であり、cos(-θ) = cosθ が成り立ちます。一方、sin関数は奇関数で、sin(-θ) = -sinθ です。これにより、次のように計算できます。

cos(α-β) = cos(α + (-β)) = cosα cos(-β) – sinα sin(-β) = cosα cosβ + sinα sinβ

この変換は公式の性質に基づくもので、図の形は変わりますが、計算結果として正しい値が得られます。

角度の符号を変えると、単位円上で角度が反対方向になります。図が変わったように見えますが、公式の適用には問題ありません。重要なのは三角関数の定義と偶奇性を理解することです。

cos(α+β)からcos(α-β)を導くときにβを-βに置き換えるのは、cosが偶関数、sinが奇関数であることを利用した公式の変形です。図上では角度の向きが変わりますが、計算結果として公式は正しく適用できます。