90°≦θ≦180°でsinθ+cosθ=√2/2のときのsinθ−cosθを求める解説

三角関数の問題で、与えられた条件から別の三角関数の値を求める方法を解説します。今回はθが90°から180°の範囲で、sinθ+cosθ=√2/2のときのsinθ−cosθを求めます。

1. 条件の整理

与えられた式は sinθ + cosθ = √2/2 です。この式を使って sinθ – cosθ を求めます。

まず、(sinθ + cosθ)² を考えます。

(sinθ + cosθ)² = sin²θ + 2sinθcosθ + cos²θ = 1 + 2sinθcosθ

ここで sin²θ + cos²θ = 1 を使いました。よって、

1 + 2sinθcosθ = (√2/2)² = 1/2

これより 2sinθcosθ = -1/2 → sin2θ = -1/2 となります。

次に (sinθ – cosθ)² を考えます。

(sinθ – cosθ)² = sin²θ – 2sinθcosθ + cos²θ = 1 – 2sinθcosθ

ここで先ほどの2sinθcosθ = -1/2を代入すると、

(sinθ – cosθ)² = 1 – (-1/2) = 1 + 1/2 = 3/2

90°≦θ≦180°では sinθ ≥ 0、cosθ ≤ 0 です。したがって sinθ – cosθ は正の値です。

よって sinθ – cosθ = √(3/2) = √6/2 となります。

90°≦θ≦180°で sinθ + cosθ = √2/2 のとき、sinθ – cosθ = √6/2 です。平方を使って計算すると簡単に求められます。