定積分でよく使われる置換積分では、√(a^2-x^2)のx=asinθ置換や、1/(x^2+a^2)のx=atanθ置換があります。置換する際にθの範囲を決める方法がわからないという声があります。本記事では、それぞれの置換でθの範囲がどのように決まるかを解説します。
√(a^2-x^2)のx=asinθ置換
置換x=asinθを使う場合、sinθの定義域から-1≤sinθ≤1となります。そのため、xが- a から a の範囲にあるとき、θは-π/2≤θ≤π/2の範囲に設定するのが一般的です。
この範囲を選ぶ理由は、sinθが一対一対応になる範囲であり、逆関数のarcsinを使うときにθを一意に決めることができるためです。
1/(x^2+a^2)のx=atanθ置換
x=atanθを置換に使う場合、tanθはすべての実数xに対して値をとれる関数です。しかしtanθは周期πの周期関数であり、同じ値を複数のθで取ることがあります。
一意性を保つために、θの範囲は-π/2<θ<π/2とします。この範囲内でtanθは単調増加し、すべての実数xに対して一意のθが対応するためです。
θ範囲の決め方のポイント
置換積分でθの範囲を決める基本は、関数の一対一対応の範囲を選ぶことです。逆関数が存在し、一意にθを決められる範囲を選ぶことで、積分の値が正しく計算できます。
具体的には、x=asinθならarcsinの定義域、x=atanθならarctanの定義域を使います。
まとめ
√(a^2-x^2)の置換x=asinθではθの範囲は-π/2≤θ≤π/2、1/(x^2+a^2)の置換x=atanθではθの範囲は-π/2<θ<π/2と設定します。これは、それぞれの逆関数の定義域を用いることで一意性を保ち、定積分を正確に計算するためです。
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