数学の関数の範囲問題は、初学者にとって戸惑うことが多いですが、正しい手順で進めるとシンプルに理解できます。今回は x ≧ 0, y ≧ 0 かつ x^3 + y^3 = 1 のとき、x + y がとり得る値の範囲について詳しく解説します。
変数の置き換えによるアプローチ
まず x + y = k と置き、y = k – x とします。この方法は範囲問題でよく使われる手法で、合成関数を単一変数に置き換えることができます。
次に x^3 + y^3 = 1 に代入すると、次の式が得られます。x^3 + (k – x)^3 = 1。この式を展開すると、3kx^2 – 3k^2x + k^3 – 1 = 0 という二次方程式が導かれます。
正の解の条件
重要なポイントは、x ≧ 0 および y ≧ 0 の両方を満たす必要があることです。x + y = k として解を求めても、一方の解が負になる場合、その k は条件を満たさないため、解としては不適切です。
例えば、k = 2 の場合、二次方程式の解が x = 0.5 と x = 1.5 だとします。y = k – x からそれぞれ y = 1.5 と y = 0.5 となり、両方とも正なので有効です。しかし x = -0.2 の解が出る場合、y = 2 – (-0.2) = 2.2 となり、y は正ですが x が負なので、この組み合わせは範囲としては考慮できません。
微分を使った範囲の確認
x^3 + y^3 = 1 の曲線を考えると、x ≧ 0, y ≧ 0 の第一象限での曲線が対象になります。この曲線上の x + y の最小値と最大値を求めるには、y = (1 – x^3)^{1/3} として f(x) = x + (1 – x^3)^{1/3} と置き、微分して臨界点を求めます。
f'(x) = 1 – x^2 / (1 – x^3)^{2/3} = 0 から x = 2^{-1/3} が得られます。このとき f(x) を評価すると、x + y の最大値は 2^{2/3} となります。最小値は x = 0 または y = 0 で f(x) = 1 となります。
具体例で確認する
例えば x = 0.5 とすると y^3 = 1 – 0.125 = 0.875 から y ≈ 0.955 となります。x + y ≈ 1.455 です。同様に x = 0.8 とすると y ≈ 0.584, x + y ≈ 1.384 となり、最大値は先ほどの計算通り 2^{2/3} ≈ 1.587 であることがわかります。
このようにして、第一象限の条件を満たす組み合わせだけを考慮することが重要です。
x + y の値の範囲まとめ
以上の議論から、x^3 + y^3 = 1 かつ x ≧ 0, y ≧ 0 のとき、x + y がとり得る値の範囲は次の通りです。
- 最小値: x = 0 または y = 0 のとき、x + y = 1
- 最大値: x = y = 2^{-1/3} のとき、x + y = 2^{2/3}
この範囲を意識すれば、二次方程式で得られた解のうち、条件を満たす組み合わせだけを採用すればよいことが理解できます。
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