青チャ数1の練習62：√5を背理法で証明する時のp/qが互いに素である理由

青チャ数1の練習62で示される√5の背理法による証明において、√5をp/qと表す際、なぜpとqが互いに素でなければならないのかを理解することは、背理法の正当性を確認する上で非常に重要です。この記事では、その理由を詳しく解説します。

背理法と平方根の証明

背理法は、ある命題が真であることを示すために、その命題が偽であると仮定し、矛盾を導き出す方法です。√5が有理数であると仮定し、その仮定をもとに証明を進める際に、√5をp/qという形で表すことが一般的です。

このとき、p/qは有理数としての表現であり、pは分子、qは分母です。しかし、背理法を使った証明において、pとqが互いに素な自然数でなければ、証明が成立しないことがわかります。

背理法を用いて√5の有理数性を証明するためには、仮定としてp/qを最も簡単な形、つまりpとqが互いに素な自然数とすることが重要です。もしpとqが互いに素でない場合、p/qは更に簡約化することができ、証明に矛盾が生じます。

例えば、もしpとqが互いに素でない場合、p/qをp’ / q’のように約分できると仮定すると、元々の仮定が正しくないことがわかります。このような仮定では、√5が有理数であるという結論に至らないため、最初からpとqは互いに素でなければならないと定義されているのです。

背理法の証明において、pとqが互いに素であるという仮定をしないと、証明の過程で出てくる式において余分な約分が生じ、論理が破綻する可能性が高くなります。実際、pとqが互いに素であることで、√5が有理数でないという結論に至るための正当な証拠を得ることができます。

具体的には、pとqが互いに素でない場合、仮定が矛盾していることが証明され、√5は有理数ではないという結論が導かれます。これにより、√5が無理数であることが確定するのです。

√5を背理法で証明する過程で、pとqが互いに素である必要がある理由は、証明を正しく進めるために不可欠です。もしpとqが互いに素でなければ、証明の過程で矛盾が生じ、結論が正しく導かれないため、最初にこの条件を設定することが非常に重要です。

背理法を用いた数学的証明では、仮定が適切であることが証明の成否を左右します。したがって、pとqが互いに素であることを前提にすることで、√5が無理数であることが確実に示されます。