指数と対数が組み合わされた問題では、数値をそのまま計算しようとすると複雑に見えることがあります。しかし、底をそろえる考え方を使うと、比較するだけで答えを求めることができます。
この記事では、a=log₁₆9のとき、8ᵃより大きい最小の自然数を求める手順を、対数の性質を利用しながら詳しく解説します。
まず条件の式を確認する
与えられている条件は、a=log₁₆9です。これは「16を何乗すると9になるか」という数をaで表しているという意味です。
つまり、対数の定義から次の式が成り立ちます。
16ᵃ=9
この関係を利用して、8ᵃの値を求めやすい形に変形していきます。
8と16の関係を利用して8ᵃを求める
8と16はどちらも2の累乗で表すことができます。
8=2³、16=2⁴なので、条件式16ᵃ=9は次のように書き換えられます。
(2⁴)ᵃ=9
指数法則を使うと、2⁴ᵃ=9となります。ここで8ᵃも2を使って表します。
8ᵃ=(2³)ᵃ=2³ᵃ
16ᵃ=2⁴ᵃ=9なので、8ᵃは9の3/4乗になります。
したがって、8ᵃ=9^(3/4)となります。
9の3/4乗を計算する
9^(3/4)は、4乗根を取ってから3乗する形に変換できます。
9^(3/4)=(⁴√9)³
9を平方根で表すと、9=3²なので、
⁴√9=⁴√3²=3^(1/2)=√3
よって、
8ᵃ=(√3)³
=(3√3)
となります。
8ᵃより大きい最小の自然数を考える
求める数は、8ᵃより大きい最小の自然数です。ここで、8ᵃ=3√3であることが分かりました。
√3は約1.732なので、
3√3≒3×1.732=5.196
となります。
つまり、8ᵃは5より大きく6より小さい数です。
したがって、8ᵃより大きい最小の自然数は6になります。
この問題で使った対数と指数のポイント
このような問題では、対数を直接計算する必要はありません。重要なのは、対数の定義から指数の形に戻すことです。
例えば、a=log₁₆9ならば、16ᵃ=9という形に変換できます。この形にすると、底の関係を利用して指数計算がしやすくなります。
また、8や16のように同じ2の累乗で表せる数が出てきた場合は、底を2にそろえることで簡単に比較できます。
まとめ
a=log₁₆9のとき、まず16ᵃ=9に変換することが解法のポイントです。
16=2⁴、8=2³の関係を利用すると、8ᵃ=9^(3/4)=3√3となります。
3√3は約5.196なので、8ᵃより大きい最小の自然数は6です。
指数と対数の問題では、対数を無理に計算するのではなく、指数の形に戻して底をそろえることで効率よく解くことができます。
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