大中小3個のサイコロを投げる問題では、「3個の目がすべて異なる場合が何通りあるか」を求めるとき、単純に全体から同じ目が出る場合を引くだけでは注意が必要です。
特に「6の3乗から6通りを引けばよいのではないか」と考えると、同じ数字が2個だけ重なる場合を数え忘れてしまいます。この記事では、なぜ答えが120通りになるのか、また6通りを引く考え方が使える問題文はどのようなものなのかを分かりやすく解説します。
大中小3個のサイコロは全部で何通りあるか
大中小の3個のサイコロは、それぞれ区別できるサイコロです。そのため、例えば大が1、中が2、小が3の場合と、大が2、中が1、小が3の場合は別の結果として数えます。
1個のサイコロには6通りの出方があります。3個すべての出方を考えると、全体の組み合わせは以下のようになります。
6×6×6＝216通り
つまり、3個のサイコロを投げた結果は全部で216通りあります。
3個の目がすべて異なる場合を直接求める方法
3個のサイコロの目がすべて異なる場合は、順番に考えると分かりやすくなります。
まず大のサイコロは6通りあります。次に中のサイコロは大と違う数字でなければならないため、5通りになります。最後に小のサイコロは、すでに2つ使われている数字以外なので4通りです。
したがって、求める数は以下の計算になります。
6×5×4＝120通り
このように、3個とも異なる条件がある場合は、最初から条件に合うものだけを数える方法が最も簡単です。
なぜ216通りから6通りを引く方法では間違えるのか
216通りから「3個とも同じ目になる場合」を引こうとすると、確かに（1、1、1）から（6、6、6）までの6通りは除外できます。
しかし、問題は同じ目が2個だけ出る場合です。例えば、（1、1、2）や（3、5、5）のような結果です。
これらは3個の数字がすべて異なる条件には当てはまりませんが、6通りの中には含まれていません。そのため、6通りだけ引くと以下のような重複した数字を含むケースが残ってしまいます。
216−6＝210通り
となり、本来の120通りとは大きく違う答えになります。
6通りを引く考え方が使える問題文とは
「6通りを引く」という考え方が正しく使えるのは、条件が「3個のサイコロがすべて同じ目にならない場合」などの問題です。
例えば、「大中小3個のサイコロを投げたとき、3個すべてが同じ目になる場合を除いた組み合わせは何通りか」という問題なら、この考え方が使えます。
この場合、全体は216通りで、除くものは（1、1、1）から（6、6、6）の6通りだけです。
計算は以下のようになります。
216−6＝210通り
つまり、「全部同じになる場合だけを除く」という条件なら6通りを引く方法が正解になります。
余事象を使う場合は何を除くのかを確認する
確率や場合の数では、「求めたいもの以外を全部引く」という余事象の考え方がよく使われます。しかし、引く対象を正しく数えることが重要です。
今回の場合、「3個の目が異なる」という条件の反対は、「少なくとも2個が同じ目になる」です。
つまり除外すべきなのは、（1、1、1）のような全部同じ場合だけではなく、（1、1、2）のような一部だけ同じ場合も含まれます。
そのため、余事象で解く場合は、引く側の数を正確に求める必要があります。
まとめ
大中小3個のサイコロで3個の目がすべて異なる場合は、6×5×4で求めることができ、答えは120通りになります。
216通りから6通りだけ引く方法では、3個すべて同じ場合しか除けないため、（1、1、2）のような2個だけ同じケースが残ってしまいます。
一方で、「3個すべて同じになる場合を除く」という問題なら216−6という計算が正しく使えます。場合の数の問題では、何を除外するのかを具体的に確認することが大切です。
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