三角関数の合成では、係数からsinやcosの値を求めた後、角度αを決定する必要があります。しかし、cosαとsinαの符号からαを判断する際に、同じ値になる角度が複数存在するため、間違えやすいポイントがあります。
特にsinθ−cosθを合成する問題では、αの候補として−3π/4を考えてしまうケースがありますが、合成後の形を確認すると正しい角度は−π/4になります。この記事では、その理由と三角関数の合成で迷わないための考え方を詳しく解説します。
三角関数の合成公式を確認する
三角関数の合成では、一般的に次の公式を使います。
Asinθ+Bcosθ=√(A²+B²)sin(θ+α)
このとき、αについては以下の関係があります。
cosα=A/√(A²+B²)
sinα=B/√(A²+B²)
つまり、係数AとBからcosαとsinαを求め、その条件を満たす角度αを探すことになります。
sinθ−cosθを合成してみる
今回の式は、A=1、B=−1として考えます。
したがって、√(A²+B²)=√(1²+(-1)²)=√2となります。
公式より、
sinθ−cosθ=√2sin(θ+α)
となり、
cosα=1/√2、sinα=−1/√2
を満たすαを求める必要があります。
ここで重要なのは、問題文で計算したようにcosαを−1/√2、sinαを1/√2としてしまうと、もとのAとBの対応が逆になってしまう点です。
cosαとsinαの符号から角度を判断する方法
cosα=1/√2、sinα=−1/√2の場合、cosは正、sinは負です。
三角関数の符号は象限によって決まります。cosが正でsinが負になるのは第4象限です。
第4象限でsinとcosの絶対値がともに1/√2になる角度は、基準角π/4なので、
α=−π/4
となります。
一方、α=−3π/4の場合は第3象限の角度になります。この場合、cosαもsinαも負になるため、
cosα=−1/√2、sinα=−1/√2
となり、今回の条件とは一致しません。
なぜ−3π/4と考えてしまうのか
−3π/4は、sinとcosの値が混乱しやすい角度の一つです。角度だけを見ると同じような45度系の角度に感じますが、象限が違うため符号が変わります。
例えば、−π/4は座標で見ると右下方向を指す角度です。この場合、x座標にあたるcosは正、y座標にあたるsinは負になります。
一方、−3π/4は左下方向を指します。そのためcosもsinも負になります。
この違いを意識すると、角度の判断で迷いにくくなります。
合成公式でαを求めるときの注意点
三角関数の合成では、cosαやsinαの値だけを覚えるのではなく、符号から象限を判断することが大切です。
具体的には、以下の流れで考えると間違いが減ります。
- AとBを確認する
- cosα=A/√(A²+B²)、sinα=B/√(A²+B²)を正しく代入する
- sinとcosの符号から象限を決める
- その象限にある角度を選ぶ
例えば、Aが正でBが負ならcosαは正、sinαは負になるため、第4象限の角度を選ぶことになります。
答えを確認するためには実際に展開する
αが正しいか不安な場合は、合成した式を展開して元の式になるか確認する方法が有効です。
α=−π/4の場合、
√2sin(θ−π/4)=√2(sinθcosπ/4−cosθsinπ/4)
となります。
cosπ/4=1/√2、sinπ/4=1/√2なので、
√2(1/√2sinθ−1/√2cosθ)=sinθ−cosθ
となり、元の式と一致します。
このように展開して確認すると、角度の選択ミスを防ぐことができます。
まとめ
sinθ−cosθの合成でαが−3π/4ではなく−π/4になる理由は、cosαとsinαの符号が異なるためです。
正しい計算では、cosα=1/√2、sinα=−1/√2となるため、第4象限の角度であるα=−π/4を選びます。
三角関数の合成では、角度の見た目だけで判断せず、sinとcosの符号から象限を確認することが重要です。最後に展開して元の式になるか確認する習慣をつけると、同じような問題でも迷わず解けるようになります。
コメント