三角関数と多項式が組み合わされた関数の最大値・最小値を求める問題では、区間内での増減を調べることが重要です。特に、閉区間で定義された関数は、端点と極値を比較することで最大値と最小値を求めることができます。
この記事では、関数 f(θ)=sinθ-θ^3/6（-1≦θ≦1）の最大値 M と最小値 m を求める流れを、微分を用いて丁寧に解説します。
対象となる関数と問題の考え方
今回考える関数は、f(θ)=sinθ-θ^3/6です。定義域は -1≦θ≦1 なので、この範囲の中で関数の値が最も大きくなる場所と最も小さくなる場所を探します。
連続な関数が閉区間で最大値・最小値を持つ場合、その候補となるのは以下の場所です。
- 区間の端点
- 導関数が0になる点（極値を取る可能性がある点）
したがって、まず f(θ) を微分して増減を調べます。
関数を微分して増減を調べる
f(θ)=sinθ-θ^3/6 を θ で微分すると、
f'(θ)=cosθ-θ^2/2
となります。
ここで f'(θ) の符号を調べます。-1≦θ≦1 の範囲では、cosθ は正であり、さらに θ^2/2 は最大でも 1/2 です。
特に、-1≦θ≦1 では cosθ≧cos1 であり、cos1は約0.54なので、
f'(θ)=cosθ-θ^2/2≧0.54-0.5=0.04>0
となります。
したがって、この区間では常に f'(θ)>0 です。
関数は区間内で単調増加する
導関数が常に正であるため、関数 f(θ) は -1≦θ≦1 の範囲で単調増加します。
単調増加する関数では、最小値は左端の θ=-1 で、最大値は右端の θ=1 で取ります。
つまり、極値を探すために f'(θ)=0 を解く必要はなく、増加関数であることを確認できれば端点を調べるだけでよいことになります。
端点での値を計算する
まず θ=1 のとき、
f(1)=sin1-1/6
となります。
したがって最大値 M は、
M=sin1-1/6
です。
次に θ=-1 のとき、
f(-1)=sin(-1)-(-1)^3/6
となります。
sin(-1)=-sin1、(-1)^3=-1 なので、
f(-1)=-sin1+1/6
となります。
よって最小値 m は、
m=-sin1+1/6
です。
結果の確認と対称性について
今回の関数は、sinθ と θ^3 がともに奇関数であるため、f(θ) 自体も奇関数になります。
つまり、f(-θ)=-f(θ) が成立します。そのため、区間の左右の端点で得られる値も互いに符号が反対になります。
実際に、最大値と最小値は、
M=sin1-1/6、m=-(sin1-1/6)
という関係になっています。
まとめ｜最大値と最小値は端点で決まる
関数 f(θ)=sinθ-θ^3/6 を区間 -1≦θ≦1 で調べる場合、まず微分して増減を確認します。
f'(θ)=cosθ-θ^2/2 は区間内で常に正なので、f(θ) は単調増加します。
したがって、最大値は θ=1 のとき、最小値は θ=-1 のときに取ります。
最終的な答えは、M=sin1-1/6、m=-sin1+1/6 となります。最大・最小問題では、微分による増減確認と端点比較が基本的な解法になります。
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