大学入試の数学では、単純な計算で答えを出せるように見える問題でも、解答としてどのような考え方を示すべきかが重要になります。「5^n＞10^19のときnの値を求めよ」という問題も、実際にnへ順番に数字を代入して確認する方法は考えられますが、東大数学ではより数学的な処理が求められる場面があります。
この記事では、この問題をどのように考えるべきか、代入による解法は評価されるのか、そして入試答案として適切な解き方について分かりやすく解説します。
問題「5^n＞10^19」を数学的に整理する
まず与えられた不等式を見やすい形に変形します。
5^n＞10^19という条件ですが、10^19は「(2×5)^19」と表すことができます。
つまり、5^n＞2^19×5^19となります。両辺を5^19で割ると、5^(n-19)＞2^19という形になります。
このように、指数を比較しやすい形に変えることで、ただ計算するのではなく、数の関係から答えを求めることができます。
実際に代入して求める方法は間違いなのか
n=10、n=11、n=12というように順番に代入して、条件を満たす値を探す方法自体は数学的に間違いではありません。
例えば、nがそれほど大きくないことが分かっていて、数個程度の確認で答えにたどり着ける場合、計算による確認は有効な手段です。
ただし、大学入試の答案としては「なぜその値になるのか」という根拠が必要になります。単に「計算したらこの値になった」とだけ書くと、採点者には論理的な説明が不足していると判断される可能性があります。
東大数学では答えだけでなく過程が評価される
東京大学の数学では、基本的に答えだけではなく、そこに至るまでの論理や考え方が重視されます。
そのため、計算機のように大量の数値を試して偶然答えを見つけるよりも、式を変形して条件を絞り込む解法のほうが評価されやすくなります。
例えば「n=29を代入すると成立する」という結果だけを書くより、「5^n＞10^19を変形するとnの範囲が分かる」という流れを示したほうが、数学的な理解を示す答案になります。
この問題のスマートな考え方
指数の大小を比較するときは、同じ底にそろえることが基本です。この問題では5と10の関係に注目します。
10^19=(2×5)^19=2^19×5^19なので、条件は5^n＞2^19×5^19になります。
ここから5^(n-19)＞2^19となり、5^19より2^19のほうが小さいことなどを利用すると、必要なnの範囲を判断できます。
このような考え方は、指数関数の大小比較で頻繁に使われる重要なテクニックです。
代入で解いた場合でも満点になる可能性はあるのか
答案として、正しい範囲で計算を行い、必要な根拠を説明できていれば、必ずしも代入が禁止されているわけではありません。
しかし、東大のような難関大学では、偶然答えを発見しただけではなく、その方法が数学的に妥当であることを示す必要があります。
例えば「n=30から試して、n=31で成立した」と書く場合でも、なぜ30程度から調べればよいのか、その根拠が必要になります。根拠なしの大量試行は、高度な数学の答案としては評価されにくいでしょう。
まとめ｜代入計算は可能だが、東大数学では論理的な説明が重要
「5^n＞10^19」という問題は、単純にnを代入して探すこともできます。しかし、東大数学で求められるのは、答えを見つけることだけではなく、なぜその答えになるのかを説明する力です。
入試答案では、指数の性質を利用して式を変形し、条件を整理する解法がより適切です。
計算による確認は補助的な方法として使い、最終的には数学的な根拠を示せる解答を作ることが、高得点につながる考え方と言えます。
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