三角比では、sin・cos・tanの90°までの有名角は覚えていても、135°や150°、225°など90°を超える角度になると急に分からなくなることがあります。しかし、これらの角度は新しく暗記する必要はなく、90°までの有名角と三角比の性質を利用して求めることができます。
この記事では、135°以上の有名角をどのように考えればよいのか、単位円や象限の考え方を使ってわかりやすく解説します。
90°を超える角度でも基本は同じ
三角比の有名角でよく使う値は、30°、45°、60°などです。
例えば、
- sin30°＝1/2
- cos60°＝1/2
- tan45°＝1
のような値は覚えている人が多いでしょう。
135°のような角度も、実は45°を利用して考えることができます。
135°は、
180°－45°
と表せます。
つまり、180°からどれだけ戻った角度なのかを見ることで、90°までの有名角を利用できます。
第2象限の三角比の符号を理解する
135°は、0°から360°までの範囲で見ると第2象限にあります。
三角比では、角度がどの象限にあるかによって符号が決まります。
| 象限 | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 第1象限 | ＋ | ＋ | ＋ |
| 第2象限 | ＋ | － | － |
| 第3象限 | － | － | ＋ |
| 第4象限 | － | ＋ | － |
135°は第2象限なので、sinは正、cosとtanは負になります。
この符号のルールを覚えておけば、90°を超える角度でも迷いにくくなります。
135°を45°から導く方法
135°は、
135°＝180°－45°
と考えます。
sinの場合、
sin(180°－45°)＝sin45°
となります。
sin45°は、
√2/2
なので、
sin135°＝√2/2
になります。
cosの場合は第2象限なのでマイナスになります。
cos(180°－45°)＝－cos45°
したがって、
cos135°＝－√2/2
です。
tanの場合も符号に注意して、
tan135°＝－1
となります。
150°や210°なども同じ考え方で求められる
135°だけではなく、150°や225°なども同じ方法で考えられます。
例えば150°なら、
150°＝180°－30°
です。
30°の三角比を利用して、第2象限なので符号を調整します。
sin150°の場合は、
sin150°＝sin30°＝1/2
となります。
cos150°は第2象限なので、
cos150°＝－cos30°＝－√3/2
です。
つまり、90°以上の角度でも「基準になる角度を30°、45°、60°に戻す」という考え方が重要です。
単位円を使うとさらに理解しやすい
三角比を覚えるときは、単位円をイメージすると90°以上の角度が分かりやすくなります。
単位円では、円周上の点の横方向の座標がcos、縦方向の座標がsinを表します。
例えば135°では、点は左上にあります。
- 縦方向は上なのでsinは正
- 横方向は左なのでcosは負
となります。
このように図で考えると、符号を暗記するだけではなく、なぜプラスやマイナスになるのか理解できます。
有名角を忘れないための覚え方
90°以上の三角比をすべて暗記しようとすると混乱しやすくなります。
基本は以下の流れで考えると効率的です。
- 30°、45°、60°の値を覚える
- 角度を180°や360°との差で表す
- 象限から符号を決める
例えば、
225°＝180°＋45°
と考えれば、45°の値を利用して求められます。
重要なのは新しい角度を覚えることではなく、知っている角度へ変換する力を身につけることです。
まとめ｜135°以上の三角比は有名角から導けばよい
135°以上の三角比は、90°までの有名角を利用して求めることができます。
ポイントは、
- 角度を30°・45°・60°などに変換する
- どの象限にあるか確認する
- sin・cos・tanの符号を決める
という3つです。
135°や150°などを新しく暗記する必要はありません。基本の有名角と象限のルールを理解すれば、どんな角度でも自分で導き出せるようになります。
コメント