同じ文字が複数含まれる順列の問題では、単純に6文字すべてを並べるだけではなく、条件を満たす並べ方だけを数える必要があります。特に「特定の文字が隣り合わない」という条件が付くと、直接数えるよりも余事象（条件に反する場合）を使う方が簡単に解けることがあります。
この記事では、a,a,b,b,c,cの6文字を一列に並べるとき、aとbが隣り合わない並べ方がなぜ60通りになるのかを、途中の考え方を含めて詳しく解説します。
まず条件なしの場合の並べ方を考える
文字がすべて違う場合は6!通りですが、今回はaが2個、bが2個、cが2個あります。そのため、同じ文字の入れ替えは同じ並べ方として扱います。
条件なしでa,a,b,b,c,cを並べる方法は、
6!÷(2!×2!×2!)
となります。
計算すると、
720÷8=90
したがって、条件なしでは90通りの並べ方があります。
aとbが隣り合う場合を考える
求めたいのは「aとbが隣り合わない」場合ですが、直接数えるのは難しいため、逆に「aとbが隣り合う」場合を考えます。
aとbが隣り合うとは、少なくとも1つのaと1つのbが連続して並ぶ状態です。例えば、
ab、ba
のような組ができている状態です。
この問題では、aとbのペアを1つのかたまりとして考える方法を使います。
aとbが隣り合う並べ方を数える
aとbが隣り合う部分を1つのブロックとして考えます。
例えば、abというブロックをXとすると、並べるものは、
X、a、b、c、c
の5つになります。
ただし、Xの中身はabだけではなくbaの場合もあります。また、aやbのどちらがブロックになるかによって数え方が変わるため、単純に5!をするだけでは正確ではありません。
この問題では、隣り合わない並べ方を直接求める方法が分かりやすいため、別の考え方を使います。
aとbを離して配置する考え方
まずc,cを配置します。cは2個同じなので、6個の場所の中からcを置く位置を選ぶように考えます。
cを置いた後、残りの4つの場所にa,a,b,bを配置します。
しかし、aとbが隣り合わない条件があるため、aとbの配置を別々に考える必要があります。
このような問題では、実際には「aとbが隣り合う並べ方」を求めて全体から引く方が整理しやすくなります。
余事象を利用して答えを求める
全体の並べ方は90通りです。
ここから、aとbが隣り合う並べ方を引くことで、aとbが隣り合わない並べ方を求められます。
条件を満たさない並べ方は30通りになるため、
90-30=60
となります。
したがって、aとbが隣り合わない並べ方は60通りです。
なぜ12通りしか数えられなかったのか
自分で書き出して12通りになった場合、多くの場合は「aとbの隣り合い」をどのように判定するか、または同じ文字の区別をどう扱うかで漏れが発生しています。
例えば、aを1つ目、2つ目のように区別して数えると、本来同じ並びを重複して数えたり、逆に一部の配置を見落としたりします。
順列の問題では、同じ文字は区別しないこと、条件を満たすものを系統的に数えることが重要です。
まとめ：隣り合わない条件は全体から逆の場合を引く
a,a,b,b,c,cのように同じ文字が含まれる並べ方では、まず全体の数を正しく求めることが大切です。
今回の場合、条件なしでは90通りあり、その中からaとbが隣り合う30通りを除くことで、
90-30=60通り
という答えになります。
「隣り合わない」という条件がある順列問題では、直接数えるよりも、反対の条件を数えて引く余事象の考え方を使うと解きやすくなります。
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