複素数とは何か？1とiで表せる意味とガウス平面で見る変換としての考え方をわかりやすく解説

複素数は高校数学でも登場する重要な数ですが、単なる計算上の道具ではなく、図形の移動や回転などを表す便利な考え方としても使われています。「1とiの2つの単位を使って書ける数」と説明されても、なぜ2つの単位が必要なのか、iとは何なのか疑問に感じる人も多いでしょう。

この記事では、複素数がどのような数なのか、なぜ1とiを使って表せるのか、さらにガウス平面上で複素数を「変換」として考える意味について、具体例を交えながら解説します。

複素数とは実数に新しい方向を加えた数

普段使っている数には、1、2、3のような整数や、0.5、√2のような実数があります。これらの数は数直線上の点として表すことができます。

しかし、実数の範囲では解けない方程式があります。代表的なものが「x²+1=0」です。この式を解こうとすると、x²=-1となり、2乗してマイナスになる数は実数の中には存在しません。

そこで「2乗すると-1になる特別な数」を新しく作り、それをiと表しました。つまり、i²=-1という性質を持つ数です。

複素数は一般的に次の形で表します。

z=a+bi

ここでaとbは実数です。この式のaの部分が実数成分、biの部分が虚数成分と呼ばれます。

例えば、3+2iという複素数を考えると、3は普通の数の方向を表し、2iはi方向の成分を表しています。

つまり複素数とは、「実数方向の単位である1」と「虚数方向の単位であるi」を組み合わせて作った数だと考えることができます。

これは平面上の点を、横方向と縦方向の2つの座標で表すことに似ています。例えば、点(3,2)を複素数3+2iとして表していると考えることができます。

複素数は、数直線ではなく平面上で表現できます。この平面をガウス平面と呼びます。

ガウス平面では、横軸を実軸、縦軸を虚軸として考えます。例えば、複素数3+2iなら、横に3、縦に2進んだ場所にある点として表されます。

この考え方によって、複素数は単なる数字ではなく、位置や方向を持ったものとして見ることができます。

例えば、2+3iと書かれた複素数は、原点から右に2、上に3進んだ場所を示す矢印のように考えることもできます。

複素数の面白い特徴の一つが、数を掛けることで平面上の図形を動かす「変換」として考えられることです。

例えば、iを掛けると何が起こるでしょうか。複素数1にiを掛けると、

1×i=i

になります。これはガウス平面上では、点(1,0)が点(0,1)へ移動することを意味します。

つまり、iを掛ける操作は「90度回転」を表しています。

さらにiをもう一度掛けると、

i×i=i²=-1

となります。これは180度回転した状態です。

このように、複素数の掛け算は単なる数値計算ではなく、平面上の回転や拡大縮小などの動きを表現できます。

複素数を極形式で表すと、複素数の掛け算がさらに分かりやすくなります。

複素数は「大きさ」と「角度」で表すことができ、掛け算をすると大きさは掛け算され、角度は足し算されます。

例えば、ある複素数に角度90度の複素数iを掛けると、長さは変わらず方向だけが90度変化します。

この性質を利用すると、コンピューターグラフィックス、物理学、電気工学などで回転や波の計算を効率的に行うことができます。

複素数とは、実数だけでは表現できない数を扱うために作られたもので、「1」と「i」という2つの単位を組み合わせて表すことができます。

式で書くとa+biという形になり、aは実数方向、bは虚数方向の大きさを表します。そしてガウス平面では、複素数を点や矢印として見ることができます。

さらに、複素数の掛け算は回転や拡大などの変換として解釈できます。そのため複素数は、単なる特殊な数ではなく、図形や現象を扱うための非常に強力な数学の道具になっています。