sin3θをtで表す変形の考え方｜三角関数の置換で式を整理する方法

高校数学の微分や三角関数の問題では、途中でsin3θのような複雑な式が登場し、その後にtを使って置換する場面があります。しかし、公式を代入した後に「なぜこの形に変形するのか」「どこをtと置けばよいのか」で迷うことがあります。

tを利用する目的は、式を単純な形にして扱いやすくすることです。この記事では、sin3θ＝3sinθ－4sin³θを使った後に、どのような考え方でtを導入するのか、その思考の流れを解説します。

tを使う目的は複雑な式を1つの変数にまとめること

数学でtという新しい文字を置く時は、単なる置き換えではなく「式を簡単にする」という目的があります。

例えば、sinθやcosθが何度も登場する式では、そのまま計算すると複雑になります。そこで、sinθをtと置くことで、三角関数の式を多項式の形に変換できます。

つまり、tを使う問題では「何をtに置けば式全体が簡単になるか」を考えることが重要です。

sin3θの公式は、

sin3θ＝3sinθ－4sin³θ

です。

ここで重要なのは、右辺を見ることです。右辺にはsinθしか登場していません。

つまり、sinθをtと置けば、

sinθ＝t

として、

sin3θ＝3t－4t³

という3次式に変形できます。

このように、複数の三角関数が残るのではなく、1種類の文字だけになるため、微分や最大値・最小値の問題で扱いやすくなります。

置換の判断基準は、「同じものが何度も出てくるか」です。

sin3θの公式を使った後の式では、sinθとsin³θが出ています。これはsinθを基準に考えると、

sin³θ＝(sinθ)³

なので、sinθを1つの文字に置き換えることで、すべてtの式になります。

例えば、xを使って、

x³－3x

という式を考えるのと同じ感覚です。sinθという複雑に見える部分をxやtという単純な文字に置き換えているだけです。

三角関数を含む微分問題では、そのまま微分するよりも、多項式に変換した方が計算しやすい場合があります。

例えば、

y＝3sinθ－4sin³θ

という式があった時、sinθ＝tと置けば、

y＝3t－4t³

になります。

すると、三角関数の問題が3次関数の問題として考えられるようになります。

3次関数なら増減表や微分を利用して最大値・最小値を調べることができます。

置換問題では、最初から「何をtにするか」を決めるのではなく、変形後の式を見ることが大切です。

具体的には、次の流れで考えます。

今回の場合は、sinθがsin³θの形でも登場しているため、sinθをtと置くのが自然です。

tを置く時によくある失敗は、式の一部分だけを置換してしまうことです。

例えば、sin³θだけをtと置いてしまうと、sinθが残ってしまい、式全体が整理できません。

置換は「式全体が新しい文字だけで表せるか」を確認して行う必要があります。

sin3θ＝3sinθ－4sin³θを見た時は、公式を覚えているだけではなく、その後の式の形を見ることが重要です。

今回のようにsinθが何度も登場する場合は、sinθをtと置くことで、3t－4t³という多項式に変換できます。

t置換の本質は「複雑なものを簡単な文字にまとめて、別の数学分野の問題として解けるようにすること」です。どこをtにするか迷った時は、変形後の式で繰り返し登場する部分を探すと判断しやすくなります。