数学の因数分解では、複雑に見える式でも決まった公式や形の特徴を見つけることで簡単に整理できます。特に「同じ形の数を足し合わせる」タイプの式では、展開する前に公式を利用することで計算量を大きく減らせます。
この記事では、（X³+3）³＋（X³-3）³のような式をどのように考えて因数分解するのか、途中式を省略せずにわかりやすく解説します。
まず式の形を確認する
今回の式は次のような形です。
（X³+3）³＋（X³-3）³
このまま3乗を展開すると非常に計算量が多くなります。しかし、よく見ると「a+b」と「a-b」の3乗を足している形になっています。
ここで、a=X³、b=3と置くことで、公式を利用できる形に変えることができます。
3乗の和の公式を利用する
3乗の和には次の公式があります。
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
ただし、今回そのまま使うのはこの公式ではなく、（a+b）³＋（a-b）³の形に対応した公式を使います。
（a+b）³＋（a-b）³を展開すると、次のようになります。
（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³
（a-b）³=a³-3a²b+3ab²-b³
この2つを足すと、3a²bと-3a²b、b³と-b³が打ち消し合います。
その結果、
（a+b）³＋（a-b）³=2a³+6ab²
となります。
公式に当てはめて計算する
元の式で、a=X³、b=3と置きます。
すると、
（X³+3）³＋（X³-3）³
=2(X³)³+6(X³)×3²
となります。
ここで、それぞれを整理します。
2(X³)³=2X⁹
6(X³)×9=54X³
したがって、
2X⁹+54X³
になります。
共通因数を取り出して因数分解する
次に、2X⁹+54X³から共通しているものを探します。
2X⁹と54X³には、2X³が共通しています。
そのため、
2X⁹+54X³=2X³(X⁶+27)
となります。
さらに、X⁶+27は3乗の和として考えることができます。
X⁶+27=(X²)³+3³
なので、3乗の和の公式を使うと、
(X²+3)(X⁴-3X²+9)
になります。
したがって最終的な因数分解は、
2X³(X²+3)(X⁴-3X²+9)
となります。
展開して確認してみる
因数分解が正しいか確認するには、逆に展開して元の式になるか確かめる方法があります。
2X³(X²+3)(X⁴-3X²+9)を計算すると、まず
（X²+3）（X⁴-3X²+9）
は3乗の和の公式によって、
X⁶+27
になります。
そこに2X³を掛けることで、
2X⁹+54X³
となり、先ほど求めた結果と一致します。
まとめ｜複雑な3乗の式は形を見ることが大切
（X³+3）³＋（X³-3）³のような式は、最初から展開すると大変ですが、「同じ形の足し算」になっていることに気づけば簡単に整理できます。
今回のポイントは、（a+b）³＋（a-b）³の形を見つけ、展開で不要な項が消えることを利用することです。
最終的な答えは2X³(X²+3)(X⁴-3X²+9)となります。因数分解では、計算を始める前に式の形を観察することが最も重要です。
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