2つの自然数の最大公約数を使って数を簡単な形にすると、残った数同士が互いに素になるという性質があります。この性質は、分数の約分や整数問題、数論の基本として非常に重要です。
この記事では、2つの自然数a,bの最大公約数をgとし、a=ga’, b=gb’と表したとき、なぜa’とb’が互いに素になるのかを、証明を交えながら分かりやすく解説します。
最大公約数で割るとはどういうことか
まず、2つの自然数a,bの最大公約数をgとします。最大公約数とは、aとbの両方を割り切ることができる数の中で最も大きいものです。
つまり、gはaとbに共通する最大の因数なので、
a=ga’、b=gb’
と表すことができます。
例えば、a=12、b=18の場合、最大公約数は6です。このとき、
12=6×2、18=6×3
となり、a’=2、b’=3になります。
このように最大公約数で共通部分を取り除いた後の数が、互いに素になるかどうかが今回のポイントです。
互いに素とは何か
2つの自然数が互いに素であるとは、1以外に共通の約数を持たないことを意味します。
例えば、2と3は共通の約数が1しかないため互いに素です。一方、6と8は2という共通の約数を持つため互いに素ではありません。
a’とb’が互いに素であるとは、a’とb’の最大公約数が1であるということです。
a’とb’が互いに素であることの証明
a’とb’が互いに素ではないと仮定します。
すると、a’とb’には1より大きい共通の約数dが存在することになります。
つまり、
a’=d×m、b’=d×n
と書ける自然数m,nが存在します。
ここで元の式を考えると、
a=ga’=gdm
b=gb’=gdn
となります。
すると、gdはaとbの両方を割り切ることができます。
しかし、dは1より大きい数なので、gdはgより大きくなります。
これは、gがaとbの最大公約数であるという条件に反します。
したがって、a’とb’が1より大きい共通の約数を持つことはできません。
よって、
a’とb’は互いに素である
ことが証明されます。
具体例で確認する
例えば、a=24、b=36の場合を考えます。
24と36の最大公約数は12なので、
a=12×2、b=12×3
となります。
したがって、
a’=2、b’=3
です。
2と3には1以外の共通の約数がないため、互いに素であることが確認できます。
もし最大公約数で割った後にも共通の約数が残っていた場合、その共通部分は最初から最大公約数に含まれていたはずなので矛盾します。
この性質が使われる場面
最大公約数で割った後の数が互いに素になる性質は、数学のさまざまな場面で利用されます。
例えば、分数を約分するとき、分子と分母を最大公約数で割ることで、それ以上約分できない形になります。これは、約分後の分子と分母が互いに素になることを利用しています。
また、整数問題では、aとbを最大公約数と互いに素な部分に分けることで、条件を整理しやすくなる場合があります。
まとめ｜最大公約数を取り除くと残りは必ず互いに素になる
2つの自然数a,bについて、最大公約数をgとして、
a=ga’、b=gb’
と表した場合、a’とb’は必ず互いに素になります。
理由は、もしa’とb’に共通の約数が残っていれば、それをgに掛けたものがa,bの共通因数となり、gが最大公約数であることに矛盾するためです。
この考え方は整数論の基本であり、約分や合同式、数学の証明問題など幅広い分野で役立つ重要な性質です。
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