三次関数「−x³＋13x」のグラフを見ると、原点を中心に180度回転させたような形になっています。なぜこのような点対称になるのかは、関数の性質を調べることで理解できます。
この記事では、奇関数という考え方を使いながら、なぜ「−x³＋13x」のグラフが原点基準で点対称になるのかを、具体的な計算例を交えて解説します。
点対称とはどのような状態なのか
グラフがある点を中心に点対称であるとは、その中心を基準に180度回転させたとき、元のグラフと完全に重なる状態を指します。
例えば原点（0,0）を中心に点対称なグラフでは、グラフ上の点（a,b）が存在するとき、反対側の点（−a,−b）も必ず存在します。
つまり、x座標の符号を反転させたときに、y座標も反対の符号になる性質があれば、原点について点対称だと判断できます。
関数が原点対称になる条件は奇関数であること
関数y=f(x)が原点について点対称になる条件は、次の関係が成り立つことです。
f(−x)=−f(x)
このような性質を持つ関数を「奇関数」と呼びます。奇関数のグラフは必ず原点を中心として点対称になります。
反対に、f(−x)=f(x)となる関数は「偶関数」と呼ばれ、y軸について対称になります。
−x³＋13xで実際に確認してみる
関数をf(x)=−x³＋13xと置きます。このとき、xを−xに置き換えてみます。
f(−x)=−(−x)³＋13(−x)
ここで、(−x)³は−x³になるため、計算すると次のようになります。
f(−x)=−(−x³)−13x=x³−13x
一方で、元の関数の値をマイナスにすると、
−f(x)=−(−x³＋13x)=x³−13x
となります。
つまり、f(−x)=−f(x)が成立しています。そのため、この関数は奇関数であり、グラフは原点について点対称になります。
グラフの形から判断するだけではなく式から判断できる
グラフを実際に描いて見た目で点対称か判断することもできますが、三次関数では式を見ることで簡単に判断できます。
−x³＋13xのように、xの奇数乗だけで構成されている関数は、原点対称になる可能性があります。
ただし、例えばx²や定数項が含まれると、奇関数の条件を満たさなくなるため、原点対称ではなくなります。
具体例として、y=x³＋2xは奇関数なので原点対称ですが、y=x³＋x²ではx²の項があるため奇関数ではありません。
なぜ三次関数は原点対称になるものが多いのか
三次関数の基本形であるy=ax³では、xを−xにすると、
a(−x)³=−ax³
となり、必ずyの値の符号も反転します。そのため、原点を中心とした対称性を持ちます。
−x³＋13xも、x³の項とxの項だけでできているため、この性質を保っています。
このように、式の中の項の種類を見ることで、グラフを描かなくても対称性を判断できます。
まとめ：−x³＋13xは奇関数だから原点について点対称になる
−x³＋13xのグラフが原点を基準に点対称になる理由は、関数が奇関数の条件f(−x)=−f(x)を満たしているからです。
xを−xに置き換えると、出てくる値が元の関数のマイナスになるため、グラフ上の点（x,y）と（−x,−y）が必ず対応します。
三次関数のグラフでは、このような奇関数の性質を利用すると、形を描く前に対称性を判断できます。
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