曲線 y=1/x 上の2点と原点を結んでできる図形の面積を求める問題は、積分の考え方だけでなく、図形的な見方や曲線の性質を理解する力が求められる良問です。
この記事では、曲線 C:y=1/x（x>0）上の点 A(a,1/a)、B(b,1/b) と原点 O によって囲まれる領域の面積 S を、a,b を用いて表す方法を詳しく解説します。また、この問題がなぜ面白い構造を持っているのかも考えていきます。
問題の図形を正しくイメージする
まず、曲線 C:y=1/x は第一象限に存在する双曲線です。a,b は 0<a<b を満たしているため、点 A は点 B より左側にあります。
点 A(a,1/a)、点 B(b,1/b) と原点 O を結ぶと、直線 OA、OB、そして曲線 C の A から B までの部分で囲まれる領域ができます。
この図形は単純な長方形や三角形ではありませんが、積分を利用することで曲線部分の面積を求めることができます。
直線 OA と OB の式を求める
まず、原点 O と点 A を結ぶ直線の傾きを求めます。
A(a,1/a) なので、直線 OA の傾きは (1/a)÷a=1/a² になります。したがって、直線 OA の方程式は y=x/a² です。
同様に、点 B(b,1/b) については、直線 OB の傾きが (1/b)÷b=1/b² となるため、直線 OB の方程式は y=x/b² になります。
つまり、囲まれる領域は x 軸方向に区切った場合、曲線 y=1/x と2本の直線によって構成される図形として考えられます。
面積を2つの三角形と曲線下の面積に分ける
求める面積 S は、曲線とx軸で囲まれる部分から、2本の直線の下側部分を考えることで求められます。
まず、曲線 C の A から B までの下側の面積は、定積分を使って表せます。
∫[a,b] 1/x dx = [log x]a,b = log b – log a
次に、直線 OA と OB が作る三角形部分を考えます。
点 A と原点による三角形の面積は、底辺を a、高さを1/aと考えると、
1/2 × a × 1/a = 1/2
となります。
同様に、点 B と原点による三角形の面積も、
1/2 × b × 1/b = 1/2
です。
求める面積 S の計算
曲線部分の面積から、原点と2点を結ぶ直線によってできる三角形部分を引くことで、求める領域の面積になります。
したがって、
S=(log b-log a)-1/2+1/2
となります。
2つの三角形の面積が同じ大きさで打ち消し合うため、最終的に、
S=log(b/a)
となります。
この問題が美しいと言われる理由
この問題の特徴は、点の位置によって三角形の形が大きく変化するにもかかわらず、それぞれの三角形の面積が必ず1/2になるという点です。
例えば、a=1の場合でも、a=10の場合でも、原点と曲線上の点を結んだ三角形の面積は変化しません。これは y=1/x という関数が持つ特殊な性質によるものです。
また、最終結果が単純な log(b/a) になる点も、この問題の美しさの一つです。複雑そうに見える図形が、曲線の性質によって非常に簡潔な式へ整理されます。
まとめ｜y=1/x の面積問題は曲線の性質を見ることが重要
曲線 y=1/x 上の2点と原点で囲まれる面積は、積分だけでなく、直線でできる三角形の性質を組み合わせることで求めることができます。
解答はS=log(b/a)となり、これは双曲線 y=1/x が持つ特徴的な性質によって生まれる結果です。
この問題は、単に計算するだけではなく、図形・関数・積分の関係を理解できる点で、数学的に非常に完成度の高い問題と言えます。
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