平面上に1本の直線を引くと、なぜ平面が2つの領域に分かれるのでしょうか。また、直線をまたいで存在する2点を結ぶどのような曲線も必ずその直線と交わることは、どのように証明できるのでしょうか。
この記事では、直線による平面の分割について、座標を用いた考え方と連続性の性質を利用して分かりやすく証明します。
直線によって平面が分割されるとは
まず、平面上に1本の直線Lを考えます。例えば、x軸を直線Lとすると、平面は上側の領域と下側の領域に分かれます。
つまり、直線Lを境界として、平面全体は2つの部分に分けられます。
このことを数学的に表現すると、「直線L上にない2点が直線Lの異なる側にあるなら、その2点を結ぶ任意の連続な曲線は必ずLと交わる」という性質になります。
直線を座標で表して考える
証明を簡単にするため、座標変換によって直線Lをx軸として考えます。
x軸は、
y=0
で表されます。
このとき、平面上の点はy座標によって2つの種類に分けられます。
- y>0の点（x軸より上側）
- y<0の点（x軸より下側）
x軸上の点はy=0なので、直線Lそのものになります。
異なる領域の2点を結ぶ曲線を考える
点Aをy>0の領域に取り、点Bをy<0の領域に取ります。
つまり、
A(a,b)、B(c,d)
として、
b>0、d<0
とします。
ここで、AとBを結ぶ任意の連続曲線を考えます。
この曲線をパラメータtを用いて、
(x(t),y(t))
と表します。
始点では、
y(0)=b>0
終点では、
y(1)=d<0
となります。
中間値の定理を利用した証明
ここで重要になるのが「中間値の定理」です。
中間値の定理とは、連続な関数が正の値から負の値へ変化する場合、その途中で必ず0になる点が存在するという性質です。
今回の曲線のy座標だけを見ると、
y(0)>0、y(1)<0
となっています。
したがって、中間値の定理より、あるt₀が存在して、
y(t₀)=0
となります。
y(t₀)=0とは、その点がx軸上にあることを意味します。
つまり、曲線は必ず直線Lと交差します。
なぜ直線上の点を避けて通れないのか
直線Lは平面を2つの開いた領域に分けています。
例えばx軸の場合、上半平面y>0と下半平面y<0です。
上から下へ移動するには、y座標を正から負へ変化させなければなりません。その途中で必ずy=0を通過します。
これは、川の上側から下側へ橋を使わず移動するには川そのものを通過する必要がある、という直感的なイメージと同じです。
直線による平面分割の結論
以上より、1本の直線Lは平面を2つの領域に分割することが証明できます。
証明のポイントは、直線を座標軸として置き換え、曲線のy座標が正から負へ変化することに注目することです。
連続な曲線では、中間値の定理によって必ず0を通るため、異なる側にある2点を結ぶ曲線は必ず直線Lと交差します。
まとめ
平面上の直線が平面を複数の領域に分ける理由は、直線を境にした2つの領域を移動する際には、必ず境界である直線を通過する必要があるためです。
数学的には、中間値の定理を用いることで、どのような連続曲線でも異なる側の2点を結ぶなら直線と交わることが示されます。
この考え方は、位相幾何学や連続性を扱う数学の基本的な考え方にもつながっています。
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