重複組合せで解く果物の選び方｜みかん10個・リンゴ9個などから1個以上選ぶ方法は何通り？

同じ種類の果物が複数個あり、それぞれの種類ごとの個数に上限がある場合、選び方の数を求める問題は数学の「組合せ」の考え方を使って解くことができます。この記事では、みかん10個、リンゴ9個、柿8個、桃7個、キウイ6個の中から1個以上10個以下選ぶ方法が何通りあるのかを、考え方から丁寧に解説します。

ポイントは、同じ種類の果物は区別せず、「みかんを何個選ぶか」「リンゴを何個選ぶか」という個数の組み合わせとして考えることです。

問題を数学的に整理する

用意されている果物は5種類あります。それぞれ選べる個数には上限があります。

例えば、みかんを3個、リンゴを2個、柿を0個、桃を1個、キウイを0個選ぶ場合は、選択方法の1つとして数えます。

重要なのは、同じ種類の果物は区別できないという条件です。つまり、みかん10個の中から「どのみかんを選ぶか」ではなく、「みかんを何個選ぶか」だけを考えます。

まず、それぞれの果物について何通りの選び方があるかを考えます。

みかんは0個から10個まで選べるため、11通りあります。同様に、リンゴは0個から9個までなので10通り、柿は9通り、桃は8通り、キウイは7通りです。

ここで、まだ「1個以上10個以下」という条件は考えず、すべての組み合わせを数えます。

それぞれの果物の選択は独立しているため、全体の組み合わせ数は掛け算で求められます。

計算すると、
11×10×9×8×7＝55,440通り
となります。

これは「各種類を0個以上、上限まで選ぶ場合」のすべての組み合わせです。

問題では「1個以上10個以下選ぶ」と指定されています。そのため、何も選ばないケースは除外する必要があります。

何も選ばない場合とは、みかん0個、リンゴ0個、柿0個、桃0個、キウイ0個という1通りだけです。

したがって、単純に全体の組み合わせから1通り引けばよいことになります。

ここで注意が必要なのは、「1個以上」という条件だけではなく、「10個以下」という条件もあることです。

先ほどの55,440通りには、例えばみかん10個、リンゴ9個、柿8個のように合計が10個を超える選び方も含まれています。

そのため、本来は合計個数が11個以上になる組み合わせを除外する必要があります。この問題は単純な積の法則だけでは解けず、上限条件を考える必要があります。

このような「種類ごとの個数を選び、合計数に制限がある問題」は生成関数を利用すると整理できます。

みかんの選択は0個から10個なので、
1+x+x²+…+x¹⁰
と表します。

同じように、リンゴは1+x+…+x⁹、柿は1+x+…+x⁸、桃は1+x+…+x⁷、キウイは1+x+…+x⁶です。

これらを掛け合わせた式の中で、xの次数が1以上10以下の係数を合計すると答えになります。

生成関数を展開すると、10個以下の選び方は以下のようになります。

合計10個以下では、各種類の最大数は十分大きいため、10個という合計制限に対して個数制限が影響するのは一部のケースだけです。

まず、5種類の果物から合計10個以下を選ぶ場合、個数制限を無視すると「5種類に10個以下を分配する」問題になります。0個も許すと、非負整数解の個数は
C(10+5,5)=C(15,5)=3003通り
です。

ただし、みかん11個以上など各種類の上限を超えるケースはありません。なぜなら合計が10個以下だからです。

最後に0個だけのケースを除くため、
3003-1=3002通り
となります。

この問題では、同じ種類の果物を区別しないため、「どの果物を取るか」ではなく「各種類を何個選ぶか」という重複組合せとして考えます。

合計10個以下という条件があるため、各果物の最大個数（みかん10個など）は実際には影響せず、5種類に合計10個以下を分配する問題になります。

したがって、何も選ばない場合を除いた答えは3,002通りです。このような問題は、条件を整理して「個数の組み合わせ」として考えることが解法のポイントになります。