複素数平面で円の方程式を表す問題では、「|z|＝1」と書くべきなのか、それとも「x²+y²＝1」でも正解になるのか迷うことがあります。
どちらの式も同じ円を表しているように見えますが、使われている考え方や表現方法には違いがあります。この記事では、複素数での円の表し方、それぞれの式の意味、答案でどちらを書けばよいのかについて詳しく解説します。
複素数平面における円の基本的な表し方
複素数をz＝x+yiと表すとき、複素数平面では実部xが横軸、虚部yが縦軸に対応します。
このとき、原点を中心とする半径1の円上にある点は、原点からの距離が1になります。
複素数zの絶対値は原点からの距離を表すため、
|z|＝1
と書くことで、「原点から距離1にある複素数全体」を表すことができます。
|z|＝1とx²+y²＝1は同じ円を表している
複素数zをz＝x+yiとすると、複素数の絶対値は次のように定義されます。
|z|＝√(x²+y²)
したがって、
|z|＝1
の両辺を2乗すると、
x²+y²＝1
になります。
つまり、数学的には「|z|＝1」と「x²+y²＝1」はまったく同じ円を表しています。
例えばz＝1、z＝i、z＝−1などはどちらの式でも満たし、原点を中心とした単位円上の点になります。
複素数の問題ではどちらの答えを書くべきか
問題文が「複素数で円の方程式を表せ」と指定している場合は、|z|＝1と答えるほうが自然です。
なぜなら、|z|は複素数特有の表現であり、複素数平面上の距離を直接表しているからです。
一方で、x²+y²＝1も間違いではありません。これは複素数平面を通常の座標平面として見た場合の円の方程式です。
そのため、採点では問題の意図によって判断される可能性がありますが、数学的内容としては同じものを表しています。
なぜ複素数では|z|＝1が好まれるのか
複素数の世界では、実部と虚部に分けて考えるよりも、絶対値や偏角を使った表現が便利な場合が多くあります。
例えば中心がaで半径rの円なら、
|z−a|＝r
と非常に簡潔に表せます。
座標で書く場合は、中心を(a,b)として、
(x−a)²+(y−b)²＝r²
となります。
複素数の表現では、中心との差をz−aで表せるため、円や図形の性質を扱いやすくなります。
答案で減点される可能性があるケース
x²+y²＝1を書いた場合に問題になる可能性があるのは、問題が「複素数zを用いて表せ」と明確に指定している場合です。
この場合、xやyを使った表現は間違いではありませんが、求められている形式とは少し異なるため、先生によっては不十分と判断することがあります。
例えば、「複素数zの条件を求めよ」という問題なら、
|z|＝1
のほうが複素数の条件として直接的です。
逆に、「座標平面上で円の方程式を求めよ」という問題なら、
x²+y²＝1
のほうが適切な答えになります。
複素数平面の円を理解するためのポイント
複素数平面では、複素数zを1つの点として考え、その点までの距離を|z|で表します。
そのため、円は「中心からの距離が一定」という性質をそのまま式にすると、
|z−中心|＝半径
になります。
この考え方を覚えておくと、単位円だけでなく、複雑な中心を持つ円の問題にも対応できます。
まとめ
複素数で中心が原点、半径1の円を表す場合、「|z|＝1」と「x²+y²＝1」は数学的には同じ意味です。
ただし、複素数の問題として答えるなら、複素数の絶対値を使った|z|＝1のほうが自然で、問題の意図にも合っています。
x²+y²＝1と書いても円としては正しいですが、複素数ならではの表現を求められている場合は|z|＝1を使うとより確実な答案になります。
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