0≦x≦2πでf(x)=x+2sin(x+a)の最大値と最小値の差の範囲を求める方法

三角関数を含む関数の最大値・最小値を求める問題では、文字定数が含まれる場合にどのように場合分けするかが重要になります。特にf(x)=x+2sin(x+a)のように、sinの位相が変化する関数では、単純な三角関数の最大値だけでは判断できません。

この記事では、0≦x≦2πにおけるf(x)=x+2sin(x+a)の最大値と最小値の差がどのような範囲になるのか、その考え方を順番に解説します。

問題の関数の特徴を整理する

考える関数は、f(x)=x+2sin(x+a)です。ここでaは任意の実数なので、sin部分の波の位置だけが変化します。

xの範囲は0から2πまでであり、この区間の長さはちょうど三角関数の1周期分です。そのため、sin(x+a)はaの値に関係なく、区間内で必ず1周期分現れます。

ただし、関数全体にはxという一次関数が加わっています。このため、単純にsinの最大値1、最小値-1を使って考えるだけでは不十分です。

最大値と最小値の差を考えるときは、関数の値の変化量に注目します。xが増加すると、xの部分は必ず2πだけ増えます。

一方で、2sin(x+a)の部分は最大2、最小-2なので、変化できる幅は最大で4です。

つまり、xによる増加とsinによる上下の揺れが組み合わさって、関数全体の振れ幅が決まります。

最大値や最小値を正確に調べるためには、微分を利用します。

f(x)=x+2sin(x+a)を微分すると、

f'(x)=1+2cos(x+a)

となります。

極値が発生する条件はf'(x)=0なので、

1+2cos(x+a)=0
cos(x+a)=-1/2

となります。

cosθ=-1/2となる場所では、θ=2π/3、4π/3などになります。したがって、aの値によって極大・極小となる位置が区間内で変化します。

関数の最大値と最小値の差が最も大きくなる場合を考えます。

xの増加によって2π分の上昇があるため、端点付近では大きな差が生まれます。また、sin部分が最大値と最小値を取るタイミングがうまく重なると、さらに差が大きくなります。

例えば、ある位置でsin(x+a)=1となり、反対側でsin(x+a)=-1となるような場合、sin部分だけで4の差が発生します。しかし、xの値が同時に変化するため、実際の差は単純な6（2π+4）にはなりません。

逆に、差が最も小さくなる場合は、xによる増加をsin部分の変化が打ち消すような形になります。

f'(x)=1+2cos(x+a)の値を見ると、cos(x+a)の範囲は-1から1なので、導関数は-1から3まで変化します。

つまり、関数は単調増加ではなく、一部で減少することもありますが、区間全体では必ず一定以上の変化幅を持ちます。

この問題では、aが自由に変化するため、最大値と最小値の差もaによって変化します。そのため、aを固定した1つの関数として解くのではなく、位相のずれによる極値位置の変化を見る必要があります。

重要なのは、sin(x+a)の周期性により、aは波形を横にずらしているだけであるという点です。そのため、考えるべきなのは「区間0≦x≦2πの中で、波がどの位置から始まるか」です。

実際の入試問題では、グラフの形を確認しながら端点と極値での値を比較し、差の最大・最小を判断することになります。

f(x)=x+2sin(x+a)の最大値と最小値の差を求める問題では、三角関数部分だけを見るのではなく、一次関数xによる全体の傾きも考えることが重要です。

aはsinの位置をずらす役割を持つため、微分して極値を調べ、端点と極値での値を比較することで差の範囲を求めることができます。

このような問題では、三角関数の最大・最小だけで判断せず、関数全体のグラフの動きを把握することが解答への近道になります。