数学の入試問題では、複雑な式のグラフを正確に描く必要があるのか、それとも式の特徴から概形を判断すればよいのか迷うことがあります。特に「√x+√y=1」のような平方根を含む曲線は、微分を使って調べるべきなのか悩みやすい形です。
この記事では、入試数学で回転体の体積を求める際に必要となる「√x+√y=1」のグラフの考え方や、どこまで正確なグラフを書く必要があるのかについて解説します。
√x+√y=1の曲線をまず式変形して考える
√x+√y=1という式は、そのままではグラフの形が分かりにくいため、まず一方の文字について表すと特徴が見えてきます。
例えば、√y=1-√xとして両辺を二乗すると、y=(1-√x)²となります。ただし、平方根を含む式では条件を忘れないことが重要です。
もともとの式から√x≧0、√y≧0なので、0≦x≦1、0≦y≦1の範囲だけを考えればよいことが分かります。
√x+√y=1のグラフの基本的な形
この曲線は、点(0,1)と点(1,0)を通ります。そして、直線x+y=1と比較すると、その間にふくらんだ形の曲線になります。
いくつか具体的な点を代入すると、形を簡単にイメージできます。例えばx=1/4の場合、√x=1/2なので√y=1/2、つまりy=1/4になります。
したがって、(1/4,1/4)を通ります。同様にx=0.64なら√x=0.8なので√y=0.2、y=0.04となり、曲線が下側へ近づいていくことが分かります。
入試では微分で正確なグラフを書く必要があるのか
このような回転体の体積を求める問題では、グラフの概形を完全に正確に描くことよりも、領域の位置関係を把握することが重要です。
岡大理系数学のような問題では、√x+√y=1の形を見て、両端の点や直線との位置関係を判断できれば十分な場合が多いです。
もちろん微分を使って増減や曲率を調べることも可能ですが、時間制限のある入試では、式の特徴を利用して素早く図形を把握する力が求められます。
直線x+y=1との関係を理解することが重要
この問題では、線分S:x+y=1と曲線C:√x+√y=1によって囲まれる図形を考えます。そのため、重要なのは2つのグラフがどちら側に位置するかです。
平方根の性質から、0≦x≦1では√x≧xとなります。同様に√y≧yなので、√x+√y≧x+yです。
曲線上では√x+√y=1なので、x+y≦1となります。つまり、曲線Cは直線x+y=1より内側にあることが分かります。
回転体の問題で必要なグラフの見方
回転体の体積問題では、図形を回転軸の周りに回したときの半径や高さを正しく判断する必要があります。そのため、グラフの細かい形よりも、回転軸との位置関係が大切になります。
今回のようにx+y=1を軸として回転する場合、曲線と直線が作る領域がどこにあり、どの部分が回転によってできる立体になるかを把握することがポイントです。
概形を素早く描き、必要なら式変形や不等式で確認するという流れが、難関大学の数学では有効な考え方です。
√を含むグラフ問題で使える考え方
平方根を含む曲線では、いきなり微分をするよりも、まず定義域や通過点を確認することが大切です。
例えば√x+√y=1なら、xとyは必ず0以上であり、さらに両方が1を超えることはありません。その条件だけでもグラフのおおまかな位置は決まります。
入試問題では、必要以上に正確なグラフを書くことより、図形処理に必要な情報を短時間で取り出すことが得点につながります。
まとめ
√x+√y=1のグラフは、微分を使って厳密に調べることもできますが、岡大数学の回転体問題では概形を理解することが中心になります。
点(0,1)、(1,0)を通ること、直線x+y=1との位置関係、平方根の性質から曲線の形を判断できれば十分対応できます。
難しい曲線を見たときは、すぐに微分するのではなく、まず式の条件や特徴を利用して図形をイメージすることが、入試数学で重要な考え方です。
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