高次方程式や4次式の因数分解では、いきなり公式を当てはめようとすると難しく感じることがあります。しかし、文字を置き換えることで2次式として考えられる場合があります。この記事では、x⁴+x²−2の因数分解を例に、どのようにして（x−1）（x−2）（x²+x−4）という形へ変形するのかを分かりやすく解説します。
x⁴+x²−2はそのままではなく置き換えて考える
x⁴+x²−2を見ると、4次式なので複雑に感じます。しかし、x⁴はx²を2回掛けたものなので、x²をひとつの文字として考えることができます。
ここで、x²をtと置き換えます。
x²=tとすると、x⁴=(x²)²=t²になります。
したがって、元の式は
t²+t−2
という2次式になります。
まず2次式として因数分解する
t²+t−2を因数分解します。
積が−2、和が1になる2つの数を探します。
その組み合わせは2と−1なので、
t²+t−2=(t+2)(t−1)
となります。
ここでtをx²に戻すと、
(x²+2)(x²−1)
になります。
x²−1をさらに因数分解する
次に、x²−1の部分を見ます。
x²−1は平方差の公式を使うことができます。
a²−b²=(a+b)(a−b)
なので、
x²−1=(x+1)(x−1)
となります。
ここまでで、
(x²+2)(x+1)(x−1)
という形になります。
解答の形（x−1）（x−2）（x²+x−4）になる理由
ここで注意したいのは、提示されている解答の形が、元の式x⁴+x²−2とは一致しない可能性があるという点です。
実際に（x−1）（x−2）（x²+x−4）を展開して確認します。
まず、（x−1）（x−2）を計算すると、
x²−3x+2
になります。
これにx²+x−4を掛けると、
(x²−3x+2)(x²+x−4)
となり、展開すると
x⁴−2x³−5x²+14x−8
になります。
これはx⁴+x²−2とは異なる式です。
そのため、問題文の式か解答のどちらかに写し間違いがある可能性があります。因数分解では、最後に展開して元の式になるか確認することが大切です。
4次式の因数分解で使える考え方
x⁴のような4次の項がある場合でも、x²が何度も登場しているなら、まず置き換えを考えるのが基本です。
例えば、x⁴+3x²+2のような式なら、x²=tと置くことで、t²+3t+2という簡単な2次式になります。
また、因数分解の答えを見たときには、必ず展開して確認する習慣をつけると、途中の計算ミスや問題文の誤植にも気づきやすくなります。
まとめ｜x⁴+x²−2は置き換えで解くが答えは要確認
x⁴+x²−2の因数分解では、x²をtと置き換えることで4次式を2次式として扱うことができます。
計算すると、x⁴+x²−2=(x²+2)(x²−1)となり、さらにx²−1を分解して(x²+2)(x+1)(x−1)になります。
一方で、（x−1）（x−2）（x²+x−4）を展開すると別の式になるため、今回の解答は問題文との間に誤りがある可能性があります。因数分解では、最後の展開チェックまで行うことが正確に解くコツです。
コメント