二次関数の平方完成では、a(x+p)^2+qやa(x-p)^2+qのように、式の中の符号が違っていることがあります。この違いは公式が間違っているのではなく、文字pが表しているものの意味が異なるために起こります。
この記事では、平方完成の形でなぜ符号が変わるのか、標準形との関係や具体例を使って分かりやすく解説します。
平方完成した二次関数の基本形
二次関数のグラフを調べるとき、式を平方完成して、
y=a(x-p)^2+q
という形に変形することが多くあります。
この形にすると、頂点の座標がすぐに分かります。
y=a(x-p)^2+qの場合、頂点は(p,q)になります。
例えば、
y=2(x-3)^2+5
なら、x座標が3、y座標が5なので、頂点は(3,5)です。
a(x+p)^2+qとa(x-p)^2+qの符号の違い
混乱しやすいポイントは、平方完成の公式として、
a(x+p)^2+q
と書かれている場合があることです。
しかし、この場合のpは、標準形のpとは意味が違います。
a(x+p)^2+qを展開すると、
a(x-(-p))^2+q
と書き換えることができます。
つまり、a(x+p)^2+qの中のpは、標準形で使われる頂点のx座標とは逆の符号を持っています。
なぜプラスがマイナスになるのか
理由は、文字pが自由に置き換えられる記号だからです。
例えば、
(x+2)^2
を考えると、これは、
(x-(-2))^2
と同じ意味になります。
つまり、
x+p
という形は、
x-(-p)
と考えることができます。
そのため、頂点の位置を表す標準形では、符号が反対になるのです。
具体例で確認する平方完成の符号
例えば、
y=(x+4)^2+1
という式があります。
この式を標準形の
y=(x-p)^2+q
と比較すると、
x+4=x-(-4)
なので、
p=-4、q=1
となります。
したがって頂点は、
(-4,1)
になります。
「中がプラスだから頂点のx座標もプラス」と考えると間違えてしまいます。中身の符号を反対にすることがポイントです。
平方完成で符号ミスを防ぐ方法
平方完成の式を見るときは、単純に記号だけを見るのではなく、
- xの前がマイナスなら、そのまま頂点のx座標になる
- xの後ろがプラスなら、反対の符号に直す
- a(x-p)^2+qの形にそろえて考える
という手順で確認するとミスを減らせます。
例えば、
y=3(x+5)^2-2
なら、
x+5=x-(-5)
なので頂点は(-5,-2)です。
まとめ
平方完成の形でa(x+p)^2+qとa(x-p)^2+qの符号が違うのは、文字pの定義が違うためです。
a(x-p)^2+qは標準形で、頂点のx座標がpになります。一方、a(x+p)^2+qは、標準形に直すとa(x-(-p))^2+qとなり、頂点のx座標は-pになります。
平方完成では、式の中の符号をそのまま頂点の座標にするのではなく、「xの横の符号を反対にする」と覚えると、符号の違いで迷いにくくなります。
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