数列の問題では、和を表すSnから一般項anを求めるために、SnとSn-1の差を利用する方法があります。しかし、答案を書く際に「Sn−Sn-1（n≧2）」のような書き方でよいのか、途中式として不足していて減点されないのか不安になることがあります。この記事では、Snから一般項anを求める基本的な考え方と、答案で注意すべき書き方について解説します。
Snから一般項anを求める基本的な考え方
数列の和Snとは、第1項から第n項までを足したものを表します。つまり、
S_n=a_1+a_2+a_3+…+a_n
という関係があります。
ここから1つ前の和であるS_n-1を考えると、
S_{n-1}=a_1+a_2+a_3+…+a_{n-1}
になります。
この2つの差を取ると、共通している部分が消えて、最後に加えたa_nだけが残ります。
S_n-S_{n-1}=(a_1+…+a_{n-1}+a_n)-(a_1+…+a_{n-1})=a_n
したがって、一般項は
a_n=S_n-S_{n-1}
として求めることができます。
「Sn−Sn-1（n≧2）」という書き方は減点されるのか
結論から言うと、「S_n-S_{n-1}(n≧2)」とだけ書いた場合でも、数学的な意味は通じます。ただし、問題の解答として提出する場合は、その後に「＝a_n」とつなげて書くほうがより適切です。
例えば、
S_n-S_{n-1}=a_n（n≧2）
のように書けば、「差を取ることで一般項が得られる」という目的が明確になります。
「S_n-S_{n-1}(n≧2)=」で終わっている場合は、式が途中で止まっているため、採点者によっては不十分な答案と判断される可能性があります。
なぜn≧2という条件が必要なのか
S_n-S_{n-1}を使う場合、S_{n-1}が存在する必要があります。
n=1の場合を考えると、S_0という値が必要になりますが、通常の数列ではS_0は定義されていません。
そのため、
a_n=S_n-S_{n-1}（n≧2）
という条件を付けます。
ただし、問題によってはS_0を定義している場合もあり、その場合はn=1でも扱えることがあります。
答案で高評価されやすい書き方の例
数列の証明や計算問題では、採点者が途中の考え方を確認できるように書くことが大切です。
例えば、
S_n-S_{n-1}=a_n
S_nの式を代入して整理する
という流れを書くと、どのように一般項を求めたのかが明確になります。
単に「公式だから」として差だけを書くよりも、「なぜその式を使うのか」が分かる答案のほうが減点されにくくなります。
Snからanを求めるときによくある注意点
Snの式が与えられている場合でも、いきなりS_n-S_{n-1}とするだけではなく、S_{n-1}の式を正しく作る必要があります。
例えば、
S_n=n^2+3n
の場合、
S_{n-1}=(n-1)^2+3(n-1)
となります。
ここでnをそのまま入れてしまうと間違った結果になるため、添字が1つ小さくなることを意識することが重要です。
まとめ
Snから一般項anを求めるときは、
a_n=S_n-S_{n-1}
という関係を利用します。
「S_n-S_{n-1}(n≧2)」という考え方自体は正しいですが、答案では「＝a_n」まで書いて、何を求めているのかを明確にすることが大切です。
また、n≧2という条件はS_{n-1}を利用するために必要な条件です。数式の意味を理解して書けば、途中式でも採点者に伝わる答案になります。
コメント