コインを何回も投げたとき、表と裏がどのような割合になるのかは確率の基本的な問題です。特に「10回投げて表5回、裏5回になる確率」は、単純に半分になる確率と思われがちですが、実際には順番の組み合わせを考える必要があります。この記事では、二項分布の考え方を使って、その確率を分かりやすく解説します。
コインを10回投げるときの全パターンを考える
公平なコインを1回投げた場合、表が出る確率も裏が出る確率もそれぞれ1/2です。
コインを10回投げると、1回ごとに表か裏の2通りがあるため、全ての結果の組み合わせは、
2×2×2×2×2×2×2×2×2×2＝2¹⁰＝1024通り
になります。
つまり、10回投げた結果には全部で1024種類の並び方があります。
表5回・裏5回になる並び方を求める
求めたいのは、10回のうち表が5回、裏が5回になる場合です。
例えば、
表表表表表裏裏裏裏裏
という順番だけではなく、
表裏表裏表裏表裏表裏
のような並びも条件を満たします。
つまり、10回のうち5つの場所を表に選ぶ方法の数を求めればよいことになります。
これは組み合わせを使って、
10C5＝10!/(5!×5!)
で計算できます。
10C5＝252
となるため、表5回・裏5回になる並び方は252通りあります。
確率を計算する
1つ1つの結果はすべて同じ確率です。
例えば、表裏表裏表裏表裏表裏という特定の並びになる確率は、
(1/2)¹⁰＝1/1024
です。
表5回・裏5回になる並び方は252通りあるため、求める確率は、
252×1/1024
となります。
したがって、
252/1024＝63/256
となります。
小数で表すと、
63÷256＝0.24609375
なので、約24.6％です。
なぜ単純に50％とはならないのか
「表と裏が半分ずつになる」という言葉から、確率も50％だと考えてしまうことがあります。しかし、10回投げた結果が必ず5回ずつになるわけではありません。
例えば、表10回、裏0回という極端な結果も起こりますし、表6回・裏4回や表4回・裏6回なども起こります。
そのため、表と裏が完全に半分になる確率は、すべての結果の中から条件に合うものだけを数えて求める必要があります。
二項分布を使った一般的な考え方
このような問題は、数学では二項分布という考え方で扱います。
n回試行して、そのうちk回成功する確率は、
nCk × p^k × (1-p)^(n-k)
で求められます。
今回の場合は、
n＝10（投げる回数）
k＝5（表の回数）
p＝1/2（表が出る確率）
なので、
10C5×(1/2)⁵×(1/2)⁵
＝252/1024
となります。
まとめ
公平なコインを10回投げて、表5回・裏5回になる確率は、単純に半分になる確率ではなく、表が出る場所の組み合わせを考えて求めます。
計算すると、
10C5×(1/2)¹⁰＝252/1024＝63/256
となり、確率は約24.6％です。
コイン投げのような身近な現象でも、順番の組み合わせを考えることで数学的な確率を正確に求めることができます。
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