ルートの中に二次式が入った積分は、置換や公式の使い方が分からず難しく感じやすい問題です。特に「x²+2x+5」のような式は、そのままでは積分しにくいため、まず平方完成を行うことが重要です。この記事では、定積分 ∫₁² 1/√(x²+2x+5) dx の計算手順を丁寧に解説します。
まず二次式を平方完成する
与えられた積分は、
∫₁² 1/√(x²+2x+5) dx
です。
分母のルート内にある二次式を平方完成します。
x²+2x+5＝(x+1)²+4
したがって、積分は次の形になります。
∫₁² 1/√((x+1)²+4) dx
ここでx+1という形が見えるため、置換を考えます。
置換によって基本形に変換する
u＝x+1と置きます。
すると、
du＝dx
となります。
また積分区間も変化します。
x＝1のとき、u＝2
x＝2のとき、u＝3
よって積分は、
∫₂³ 1/√(u²+4) du
となります。
√(u²+a²)型の積分公式を使う
この形は、次の公式を利用できます。
∫ dx/√(x²+a²)＝log|x+√(x²+a²)|＋C
または、逆双曲線関数を使う場合は、
∫ dx/√(x²+a²)＝arsinh(x/a)＋C
となります。
今回の場合はa＝2なので、
∫₂³ 1/√(u²+4) du＝[log(u+√(u²+4))]₂³
となります。
積分区間を代入して計算する
上端u＝3を代入すると、
log(3+√(9+4))＝log(3+√13)
になります。
下端u＝2を代入すると、
log(2+√(4+4))＝log(2+√8)
となります。
したがって答えは、
log(3+√13)-log(2+√8)
です。
対数の性質を使えば、
log((3+√13)/(2+√8))
とまとめることもできます。
別解：双曲線関数を使った表し方
同じ積分は、逆双曲線関数を利用するとさらに簡潔に表せます。
∫₂³ 1/√(u²+4) du＝arsinh(u/2)|₂³
したがって、
arsinh(3/2)-arsinh(1)
となります。
高校数学では対数表示が一般的ですが、大学数学では逆双曲線関数による表記もよく使われます。
このタイプの積分を解くポイント
今回のような「二次式の平方根が分母にある積分」では、最初に平方完成することが解法の第一歩です。
特に、
√(x²+a²)
という形に変形できれば、公式を利用できます。
また、積分区間がある定積分では、置換後の区間を忘れずに変更することが計算ミスを防ぐポイントです。
まとめ
∫₁² 1/√(x²+2x+5) dx は、平方完成してから置換することで基本的な積分公式の形に変形できます。
x²+2x+5を(x+1)²+4に直し、u=x+1と置換すると、∫₂³ 1/√(u²+4) duになります。
最終的な答えは、
log(3+√13)-log(2+√8)
または
log((3+√13)/(2+√8))
です。
ルート付き二次式の積分では、平方完成・置換・公式利用の流れを身につけることが重要です。
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