無限区間で定義された積分では、関数が無限遠でどのような振る舞いをするかを調べる必要があります。特にsin xのような振動する関数では、条件付き収束と絶対収束を区別して考えることが重要です。
この記事では、1<a<2のとき、∫[0,∞]sin x/x^a dxが絶対収束することを、絶対値を用いた比較によって分かりやすく証明します。
絶対収束とは何か
積分が絶対収束するとは、元の関数を絶対値にしても積分が有限になることを意味します。
つまり、
∫[0,∞]|sin x/x^a|dx
が有限値になることを示せばよいです。
今回の場合、
|sin x/x^a|=|sin x|/x^a
なので、
∫[0,∞]|sin x|/x^a dx
が収束することを証明することが目標になります。
区間を0付近と∞付近に分けて考える
無限区間の積分では、問題となる場所を分けて調べるのが基本です。
今回の場合、
0付近でx^aが0に近づくことによる影響
と
xが∞へ向かうときの減衰の影響
を別々に確認します。
したがって、
∫[0,∞]|sin x|/x^a dx=∫[0,1]|sin x|/x^a dx+∫[1,∞]|sin x|/x^a dx
として考えます。
0から1までの積分が収束することを示す
まず、0<x<1では、sin xについて、
|sin x|≦x
が成り立ちます。
したがって、
|sin x|/x^a≦x/x^a=x^{1-a}
となります。
ここで、比較対象である
∫[0,1]x^{1-a}dx
を考えます。
この積分が収束する条件は、指数が−1より大きいことです。
つまり、
1-a>-1
であればよく、整理すると、
a<2
となります。
今回の条件では1<a<2なので、この条件を満たします。
よって、比較判定法より、
∫[0,1]|sin x|/x^a dx
は収束します。
1から∞までの積分が収束することを示す
次に、xが大きい場合を考えます。
sin xは常に、
|sin x|≦1
を満たします。
したがって、
|sin x|/x^a≦1/x^a
となります。
ここで、
∫[1,∞]1/x^a dx
を考えます。
これはp積分と呼ばれる基本的な積分であり、
a>1
のとき収束します。
今回の条件は1<a<2なので、当然a>1を満たします。
したがって、比較判定法により、
∫[1,∞]|sin x|/x^a dx
も収束します。
なぜ1
今回の条件には、それぞれ異なる役割があります。
a>1は無限遠での収束を保証します。
xが大きくなると、1/x^aが十分速く小さくなる必要があるためです。
一方で、a<2は0付近での収束を保証します。
sin xがx程度の大きさになることで、被積分関数はx^{1-a}程度になります。この積分が収束するためにa<2が必要になります。
つまり、
1<a<2
という範囲は、0付近と∞付近の両方で積分が有限になるための条件です。
まとめ
∫[0,∞]sin x/x^a dxが絶対収束することを示すには、
∫[0,∞]|sin x|/x^a dx
が収束することを確認します。
0から1では、|sin x|≦xを利用してx^{1-a}と比較し、a<2より収束します。
1から∞では、|sin x|≦1を利用して1/x^aと比較し、a>1より収束します。
したがって、1<a<2の条件のもとでは、両方の区間で積分が収束するため、
∫[0,∞]sin x/x^a dx
は絶対収束することが証明されます。
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