x³-6x²y+18xy²-27y³の因数分解は(x-3y)³で正しい？展開して確認する方法を解説

三次式の因数分解では、公式に当てはめたつもりでも符号や係数の違いで間違えてしまうことがあります。特に「x³-6x²y+18xy²-27y³」のような式は、見た目が立方公式に似ているため「(x-3y)³ではないか」と考える人も多い問題です。

この記事では、三次式の因数分解の公式を使って、この式が本当に(x-3y)³になるのかを確認しながら、正しい考え方を分かりやすく解説します。

三次式の因数分解で使う基本公式

三次式の因数分解では、次の立方公式を利用します。

a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³

つまり、ある式が(x-3y)³の形になるためには、a=x、b=3yとして考えた場合、展開した結果が一致する必要があります。

(x-3y)³を展開すると、公式より次のようになります。

x³-3x²(3y)+3x(3y)²-(3y)³

これを整理すると、x³-9x²y+27xy²-27y³になります。

問題の式は、x³-6x²y+18xy²-27y³です。

一方、(x-3y)³を展開した式は、x³-9x²y+27xy²-27y³です。

比較すると、x³と-27y³の部分は同じですが、x²yの項とxy²の項の係数が異なっています。

式	x²yの係数	xy²の係数
x³-6x²y+18xy²-27y³	-6	18
(x-3y)³	-9	27

このため、残念ながら(x-3y)³では元の式を表すことはできません。

では、この式はどのように因数分解するのでしょうか。まず、立方公式の形と比較します。

(x-ky)³を展開すると、

x³-3kx²y+3k²xy²-k³y³

となります。

今回の式では、x²yの係数から考えると、-3k=-6なのでk=2になります。

しかし、k=2の場合、xy²の係数は3k²=12、y³の係数は-8となり、元の式の18や-27とは一致しません。

つまり、この式は単純な(x-ky)³の形ではありません。

三次式を因数分解するときは、まず公式の形になっているかを確認することが重要です。

例えば、(x-3y)³だと思った場合は、暗算で判断するのではなく、一度展開して元の式に戻るか確認すると間違いを防げます。

また、三次式の場合は「立方公式」「因数定理」「置き換え」など複数の方法があります。公式に合わない場合は、別の方法を検討する必要があります。

立方公式の特徴は、係数が「1、-3、3、-1」の比率になることです。

例えば、(x-2y)³なら、

x³-6x²y+12xy²-8y³

となります。このように、最初の係数から決めた数を使って、後ろの項も一致するかを見ることがポイントです。

今回の式では最初の2項だけを見ると(x-2y)³に近く見えますが、後半の係数が一致しないため、立方公式の形ではありません。

x³-6x²y+18xy²-27y³は、見た目が(x-3y)³に似ていますが、実際に展開すると係数が一致しないため、(x-3y)³とはなりません。

因数分解では、形だけで判断せず、必ず展開して元の式に戻るか確認することが大切です。

特に三次式では、立方公式の係数「1、-3、3、-1」を意識すると、公式が使えるかどうかを素早く判断できるようになります。