1〜4の数字を2回ずつ使う3×3ビンゴは何通り？対称性を除いた数え方を解説

3×3のマスに数字を配置する問題では、単純な並べ方の数を数えるだけではなく、「回転したものを同じとみなす」「対称な配置を除く」といった条件が入ると難しく感じます。

この記事では、1〜4の数字を2回ずつ使い、中央を空白にした3×3ビンゴについて、条件を整理しながら何通りになるのかを考える方法を解説します。

まず条件を整理して配置場所を確認する

3×3のマスでは、中央の1マスを空白にするため、数字を置く場所は8か所になります。

使用する数字は1、2、3、4の4種類で、それぞれ2回ずつ使います。つまり、8個の場所に4種類の数字を2個ずつ配置する問題になります。

ただし、単純に8個の場所へ数字を並べるだけではなく、「真ん中を含む対角線上に同じ数字を配置しない」という制限があります。

中央のマスを通る対角線は2本あります。左上から右下への対角線と、右上から左下への対角線です。

中央は空白なので、実際には各対角線上にある4つの角のマスについて考えることになります。

同じ数字を2回使う場合、その2つを同じ対角線上に置くことは禁止されます。そのため、角の配置には特に注意が必要です。

まず、回転や反転を同じものと考えない場合を考えます。

8個の場所に1、2、3、4を2個ずつ配置するだけなら、重複を考えた順列になります。

計算すると、配置数は次のようになります。

8!÷(2!×2!×2!×2!)

=40320÷16

=2520通り

ただし、これは対角線の条件を無視した数です。実際には禁止される配置があるため、ここから条件に合わないものを除く必要があります。

この問題では「回転したものは同じ一通り」とされています。

例えば、ある配置を90度回転させたものは別の配置に見えますが、ビンゴとしては同じものとして扱います。

通常、正方形の配置では90度、180度、270度の回転を考えるため、対称性を利用して数を減らします。

ただし、すべての配置が必ず4種類の回転を持つとは限りません。回転しても同じになる特殊な配置があるため、単純に4で割るだけでは正確な答えになりません。

点対称とは、中心を基準に180度回転して一致する配置です。線対称とは、ある直線を軸に折り返したとき一致する配置です。

このような対称性を持つ配置は、同じものを何度も数えてしまう原因になります。

数学的には、このような場合はバーンサイドの補題（Burnsideの補題）という考え方を使うと整理できます。

バーンサイドの補題では、回転や反転などの操作ごとに「その操作をしても変化しない配置数」を数え、平均を取ることで重複を除いた数を求めます。

この問題を手作業で解く場合は、まず角の4マスに注目すると整理しやすくなります。

角の配置を決めた後、残りの辺の4マスへ数字を配置します。対角線条件があるため、角の選び方によって残りの配置可能数が変化します。

例えば、同じ数字のペアを角に置く場合、その2つが同じ対角線上にならないように選ぶ必要があります。

このように条件ごとに分類して数えることで、全パターンを漏れなく確認できます。

このような対称性を含む組み合わせ問題は、プログラムを使って全探索する方法もよく利用されます。

2520通りの配置をすべて作成し、条件違反を除外し、その後で回転や対称変換による重複を取り除けば、正確な答えを確認できます。

組み合わせ問題では、計算だけでなく「条件を満たすものを列挙する」という考え方も重要な解法になります。

1〜4の数字を2回ずつ使う3×3ビンゴ問題は、単純な順列ではなく、対角線の制約と回転・対称性の除去があるため複雑になります。

解くポイントは、①数字の配置数を考える、②禁止条件を確認する、③回転や線対称・点対称による重複を除く、という順番で整理することです。

このような問題は、バーンサイドの補題や全探索の考え方につながる、組み合わせ数学のよい練習問題といえます。