モンティ・ホール問題が2分の1ではなく2分の3になる理由を100個のドアで徹底解説

モンティ・ホール問題は、直感では「最後に2つのドアが残るなら確率は50％ずつではないのか」と感じやすい有名な確率問題です。しかし、司会者が正解を知ったうえでハズレのドアを開けるという特殊な条件があるため、単純な2択にはなりません。この記事では、100個のドアを使った例も交えながら、なぜ変更した方が当たる確率が高くなるのかを分かりやすく解説します。

モンティ・ホール問題の基本的な仕組み

モンティ・ホール問題では、複数のドアの中に1つだけ当たりがあり、残りはハズレです。参加者が1枚のドアを選んだ後、司会者が必ずハズレのドアを開け、残った別のドアへ変更するかどうかを尋ねます。

重要なのは、司会者は偶然ハズレを開けているのではなく、必ず当たりの場所を知ったうえでハズレだけを開けているという点です。この情報が確率を変化させます。

通常の3枚のドアの場合、最初に選んだドアが当たりである確率は1/3です。そして、残り2枚のどちらかに当たりがある確率は2/3です。

100個のドアで考えると仕組みが見えやすい

100個のドアがあり、そのうち1つだけが当たりだとします。最初にあなたが1枚を選んだ場合、そのドアが当たりである確率は100分の1です。

逆に考えると、あなたが選ばなかった99枚のドア全体に当たりが含まれている確率は99分の99、つまり99％です。

ここで管理人が登場します。管理人は当たりの場所を知っており、あなたが選んだドアと別の1枚を残して、残り98枚のハズレをすべて開けます。この行動によって、最初の99％という確率が消えるわけではありません。

管理人がハズレを開けても確率がリセットされない理由

「最後に2枚しか残っていないなら、それぞれ50％では？」と感じる理由は、管理人が開けた98枚を単なる整理作業だと考えてしまうからです。

しかし、管理人はランダムに98枚を開けたわけではありません。当たりを避けながら必ずハズレだけを開けています。この情報が、残った1枚に集約されます。

例えば、あなたが最初に選んだドアが外れている場合を考えます。100枚中99枚は外れなので、ほとんどの場合はこちらです。その場合、管理人はあなたの選択以外の場所にある本物のドアを残すことになります。

つまり、最初の選択が間違っていた99％のケースでは、変更すると必ず成功します。

100個のドアの場合の具体的な結果

100個のドアで最初に選んだドアを固定すると、結果は次のようになります。

つまり、変更しない場合の勝率は1％ですが、変更すると99％になります。

これは「残った2枚が新しく50％ずつになった」のではなく、「最初に選ばなかった99枚分の確率が、管理人によって1枚に集められた」と考えると理解しやすくなります。

仲間Aと仲間Bの説明が正しい理由

問題文の中で仲間Aが「隣のドアの方が当たりの確率は高い」と言っているのは、正確には「管理人が残したドアには、最初に選ばなかった側の確率が集まっている」という意味です。

また、仲間Bの「知っていて開けなかったから」という説明も重要なポイントです。管理人が何も知らずに適当にドアを開けた場合は、確率は変化する可能性があります。

しかし、管理人は当たりを避ける能力を持っているため、その行動自体が追加情報になります。確率は単に残った数だけではなく、そこに至る過程によって変わります。

なぜ人間は50％だと思ってしまうのか

人間は「2つの選択肢が残った」という状況を見ると、自然に半分ずつだと考えやすい傾向があります。しかし、確率では見た目の数だけではなく、過去の情報を考慮する必要があります。

例えば、宝箱が100個あり、その中から1つを選んだ後、宝箱の場所を知っている案内人がハズレの98個を除外した場合、最後に残った宝箱は単なる2択ではありません。

最初の選択が持っていた1％と、選ばなかった99％という情報が、そのまま残っているためです。

まとめ：モンティ・ホール問題は数ではなく情報の問題

モンティ・ホール問題が2分の1ではなく変更側が有利になる理由は、司会者が答えを知っていて、意図的にハズレだけを除外しているからです。

100個のドアで考えると、最初に選んだドアが当たりである可能性はわずか1％しかなく、残り99％の可能性が管理人の行動によって1枚のドアへ集まります。

確率問題では、最終的に残った選択肢の数だけを見るのではなく、「なぜその状態になったのか」という情報を考えることが重要です。モンティ・ホール問題は、その考え方を理解する代表的な例と言えます。