ドーズの限界とは、望遠鏡などで2つの点光源をどこまで近いものとして見分けられるかを表す分解能の限界です。式θ=115.8/Dは、光の回折現象を利用した理論的な限界を表しています。この記事では、この式がどのような考え方から導かれるのか、レイリー限界との関係や定数115.8が生まれる理由を順番に解説します。
ドーズの限界とは何か
ドーズの限界（Dawes’ limit）は、アマチュア天文分野などでよく使われる、望遠鏡の分解能を表す経験的な式です。
一般的には、
θ=115.8/D
という形で表されます。
ここでθは2つの星を分離して見分けられる最小角距離（秒角）、Dは望遠鏡の口径（mm）です。
つまり、望遠鏡の口径が大きいほど細かいものまで見分けられることを意味しています。
光の回折による分解能の限界
望遠鏡の性能は、単純にレンズや鏡を大きくすれば無限に良くなるわけではありません。
光は波の性質を持っているため、レンズや鏡の開口部を通過すると回折します。その結果、点光源は完全な点ではなく、エアリーディスクと呼ばれる明るい中心と周囲の回折リングを持つ像になります。
この回折によって、近すぎる2つの星は像が重なり、別々の星として見えなくなります。
この限界を理論的に表したものがレイリー限界です。
レイリー限界の式を導出する
円形開口を持つ望遠鏡の場合、レイリー限界は、
θ=1.22λ/D
で表されます。
ここで、
θ：分解できる最小角度（ラジアン）
λ：観測する光の波長（m）
D：望遠鏡の口径（m）
です。
この式は、円形開口による回折パターンの最初の暗環の位置から導かれます。円形開口の回折像はベッセル関数で表され、その最初の零点が約1.22λ/Dになるため、この係数が入ります。
秒角への変換で115.8という数字が出る
ドーズの限界の式では角度を秒角で表します。そのため、レイリー限界を秒角に変換します。
まず、ラジアンと秒角の関係は、
1ラジアン＝206265秒角
です。
また、口径Dをmmで表すため、単位を変換します。
レイリー限界、
θ=1.22λ/D
に、可視光の代表的な波長として約550nm（5.5×10⁻⁷m）を代入します。
すると、
θ=1.22×5.5×10⁻⁷/D
となります。
これを秒角に変換すると、
θ=(1.22×5.5×10⁻⁷×206265)/D
となり、
θ≈0.1385/D(m)
になります。
Dをmm単位に直すと、
θ≈138.5/D(mm)
となります。
これはレイリー限界による値であり、実際の観測条件や人間の視覚特性を考慮すると、ドーズの限界では約115.8という経験値が用いられます。
ドーズの限界115.8は理論値ではなく経験的な値
重要なのは、115.8という数字が純粋な物理法則から直接出てくる定数ではないという点です。
レイリー限界は光の回折だけを考えた理論的な限界ですが、ドーズの限界は実際に人間が二重星を観測した結果から得られた経験則です。
そのため、観測者の視力、望遠鏡の品質、気流の状態などによって多少変化します。
例えば、同じ100mm口径の望遠鏡なら、
ドーズの限界では、
θ=115.8÷100=1.158秒角
となります。
つまり、約1.16秒角より離れた二重星なら理想条件で分離できる可能性があるという意味になります。
ドーズの限界とレイリー限界の違い
レイリー限界とドーズの限界は似ていますが、目的が少し異なります。
レイリー限界は、光学系そのものの回折による理論的な限界です。一方、ドーズの限界は、人間が実際に星を見分けられる能力を含んだ実用的な目安です。
そのため、同じ口径でもドーズの限界の方が少し厳しい値になる場合があります。
天体観測では、望遠鏡の性能を判断する簡単な指標としてドーズの限界が利用されています。
まとめ｜θ=115.8/Dは光の回折と観測経験から生まれた式
ドーズの限界θ=115.8/Dは、光の回折による分解能の限界を基礎にしながら、実際の二重星観測で得られた経験的な定数を用いた式です。
理論的にはレイリー限界θ=1.22λ/Dから分解能を考えますが、ドーズの限界では人間の視覚による識別能力なども含めて115.8という係数が使われています。
つまり、この式は単なる暗記公式ではなく、「光は波であるため回折し、望遠鏡には見分けられる限界がある」という光学の基本原理から生まれたものです。
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