三角関数を含む積分では、sinとcosの一次結合を1つの三角関数にまとめることで、複雑な式を簡単な形に変形できます。今回は、f(x)が連続であるときに成立する積分公式「∫[0,2π]f(a cosx+b sinx)dx＝2∫[-π/2,π/2]f(√(a²+b²)sinx)dx」について、三角関数の合成と対称性を使って証明する方法を解説します。
証明したい積分公式の意味
示すべき式は次の関係です。
∫[0,2π]f(a cosx+b sinx)dx＝2∫[-π/2,π/2]f(√(a²+b²)sinx)dx
ここで、aとbは定数、f(x)は連続関数です。
ポイントは、a cosx+b sinxという形を、1つのsin関数にまとめることです。この変形によって、積分範囲全体で同じ値の分布を持つ形に変えることができます。
a cosx+b sinxを三角関数の合成で変形する
まず、R＝√(a²+b²)とおきます。
すると、次のようにaとbをRを使って表せます。
a＝R cosα
b＝R sinα
となるようなαを選ぶことができます。
このとき、
a cosx+b sinx
＝R cosα cosx+R sinα sinx
となります。
Rをくくると、
＝R(cosα cosx+sinα sinx)
ここで三角関数の加法定理より、
cos(x−α)＝cosx cosα+sinx sinα
なので、
a cosx+b sinx＝R cos(x−α)
となります。
さらにcosθ＝sin(θ+π/2)より、
a cosx+b sinx＝R sin(x−α+π/2)
と書くことができます。
積分変数を置換する
元の積分は、
I＝∫[0,2π]f(a cosx+b sinx)dx
でした。
先ほどの変形を代入すると、
I＝∫[0,2π]f(R sin(x−α+π/2))dx
となります。
ここで、
t＝x−α+π/2
と置換します。
すると、dx＝dtなので、
I＝∫[−α+π/2]^[2π−α+π/2]f(R sint)dt
となります。
積分区間の長さは、
(2π−α+π/2)−(−α+π/2)＝2π
であり、2π周期の関数を1周期分積分していることになります。
周期性を利用して積分区間を変更する
sin tは2π周期なので、f(R sin t)も2π周期になります。
したがって、積分区間をどこに移動しても積分値は変わりません。
そのため、
I＝∫[0,2π]f(R sint)dt
と考えることができます。
ここで区間を半分に分けます。
I＝∫[−π/2,π/2]f(R sint)dt＋∫[π/2,3π/2]f(R sint)dt
となります。
sinの対称性を使って2倍の形にする
後半の積分について、u=t−πと置換します。
すると、
t＝u＋π
となり、
sin(u＋π)＝−sin u
が成り立ちます。
よって、後半部分は、
∫[π/2,3π/2]f(R sint)dt＝∫[−π/2,π/2]f(−R sinu)du
となります。
ここで、区間[-π/2,π/2]ではsin uが左右対称に変化するため、変数変換によって同じ値になります。
したがって、
∫[0,2π]f(R sint)dt＝2∫[−π/2,π/2]f(R sinx)dx
となります。
証明結果の確認
以上より、
R＝√(a²+b²)
であることを考えると、
∫[0,2π]f(a cosx+b sinx)dx
＝2∫[−π/2,π/2]f(√(a²+b²)sinx)dx
が示されました。
この公式は、三角関数の一次結合を1つの正弦関数にまとめることと、周期関数の積分範囲を変更する考え方を組み合わせた結果です。
この公式を使うときのポイント
この種の積分では、複雑なa cosx+b sinxをそのまま扱うのではなく、まず√(a²+b²)sin(x+定数)の形に変換することが重要です。
例えば、5cosx+12sinxのような式なら、√(5²+12²)＝13なので、13sin(x+α)の形に変換できます。
この考え方は、三角関数の最大値や周期積分、物理学での振動解析などでも頻繁に利用されます。
まとめ｜三角関数の合成と対称性が積分公式の鍵
積分公式を証明するポイントは、a cosx+b sinxを√(a²+b²)sin(x+α)の形へ変形することです。
その後、変数変換によって位相を取り除き、sin関数の周期性と対称性を利用することで、積分範囲を[-π/2,π/2]にまとめることができます。
三角関数を含む積分では、式の形を整えることが解法の第一歩になります。この公式も、三角関数の合成と周期性という基本的な性質から導かれる重要な関係です。
コメント