規則的な記号配列でm番目の位置を求める方法｜●〇の並びから個数を数える数列の考え方

同じ記号が一定の規則で繰り返される配列では、m番目にどの記号が来るのか、またその位置までに特定の記号が何個あるのかを式で表すことができます。この記事では、○○●〇〇●のような周期的な並びを数列として考える方法を解説します。

単純に並びを数えるだけではなく、一般化して任意のm番目について求めるには、周期と余りを利用することが重要になります。

周期的な記号配列は「1周期」を見つけることから始める

例えば、配列が「○○●〇〇● ○○●〇〇● ○○●〇〇●」のように繰り返されている場合、まず同じパターンが何個分で繰り返されているかを確認します。

この場合、1つのまとまりは「○○●〇〇●」であり、1周期の長さは6個です。

つまり、6個ごとに同じ並びが繰り返されるため、m番目の位置を考えるときは「mを6で割った余り」を利用します。

m番目の記号を調べる場合は、mを周期の長さで割った余りを考えます。

この配列では1周期が6個なので、mを6で割った余りによって位置が決まります。

例えばm=15の場合、15÷6の余りは3です。そのため15番目は3番目の記号となり、「●」になります。

次に、m番目までに「〇」が何個存在するかを求めます。

1周期6個の中には、〇が4個、●が2個含まれています。そのため、m個の中に何周期分が含まれるかを考えます。

mを6で割った商をq、余りをrとすると、m=6q+rと表せます。

6q個の部分では、1周期あたり〇が4個あるため、〇の個数は4q個になります。

残ったr個については、最初のr個の中に含まれる〇の数を追加します。

周期的な配列では、〇の個数は次のように考えることができます。

〇の個数 = 4×⌊m÷6⌋ + 残り部分に含まれる〇の数

ここで⌊m÷6⌋は、mを6で割ったときの整数部分（切り捨て）を表します。

例えばm=20の場合、20÷6=3余り2なので、3周期分と残り2個に分けます。

3周期分では〇が4×3=12個あり、残りの「○○」には〇が2個あるため、合計14個になります。

このような問題では、最初からm番目までを書き並べようとすると数が大きくなった場合に対応できません。

重要なのは「何個で1回繰り返すか」「1周期にそれぞれの記号が何個あるか」を見つけることです。

数列や場合の数の問題でも、周期性を利用すると複雑な並びを簡単な式に変換できます。

「○○●〇〇●」のような繰り返し配列では、まず1周期の長さを調べます。この場合は6個が1周期です。

m番目の記号を求めるにはmを6で割った余りを利用し、〇の個数を求める場合は周期ごとの個数と余り部分の個数を足し合わせます。

周期的な並びを見たら、規則を発見して一般化することが解法の基本になります。