両替機の硬貨の出され方は何通り？1000円札を4種類の硬貨に分ける組み合わせ問題の解き方

硬貨の組み合わせを数える問題では、単純に金額だけを見るのではなく、使用できる硬貨の種類や枚数制限を考える必要があります。この記事では、10円玉・50円玉・100円玉・500円玉を使い、1000円札がどのような組み合わせで戻ってくる可能性があるのかを、数学的な考え方で解説します。

問題を数学の形に置き換える

使用できる硬貨は10円玉、50円玉、100円玉、500円玉の4種類です。1円玉と5円玉は使えず、1回に出せる硬貨の枚数は最大15枚までという条件があります。

それぞれの硬貨の枚数を、10円玉をa枚、50円玉をb枚、100円玉をc枚、500円玉をd枚とします。

すると、金額の条件は次の式になります。

10a+50b+100c+500d=1000

10で割ると、

a+5b+10c+50d=100

となります。また、硬貨の枚数制限から、

a+b+c+d≦15

という条件も必要です。

500円玉は1000円を作るため、0枚、1枚、2枚の3通りしかありません。

まず500円玉が2枚の場合、すでに1000円になるため、他の硬貨は0枚です。この場合は1通りです。

500円玉が1枚の場合、残り500円を10円玉、50円玉、100円玉で作ります。この場合は、a+5b+10c=50となり、枚数制限を考えながら組み合わせを調べます。

500円玉が0枚の場合は、10円玉、50円玉、100円玉だけで1000円を作る必要があります。つまり、a+5b+10c=100を満たす組み合わせを探します。

もし枚数制限がなければ、10円玉だけで100枚という組み合わせも可能になります。しかし、この問題では最大15枚までという条件があるため、多すぎる10円玉の組み合わせは除外されます。

例えば、10円玉100枚は金額としては条件を満たしますが、硬貨が100枚になるため15枚制限により不可能です。

このように、組み合わせ問題では金額の条件だけでなく、個数や種類の条件を同時に満たす必要があります。

各500円玉の枚数について、残りの金額を作れる組み合わせを調べます。

それぞれの場合を合計すると、

1+8+11=20

となります。

このような問題では、硬貨の順番を区別するかどうかが重要です。例えば、10円玉5枚と50円玉1枚は、出てくる順番が違っても同じ組み合わせとして数えます。

今回求めるのは「戻され方・出され方の種類」であり、硬貨を並べる順番ではありません。そのため、同じ種類と枚数の組み合わせは1通りとして扱います。

また、「出されない種類の硬貨があってもよい」という条件があるため、4種類すべてを必ず使う必要はありません。

この両替問題は、硬貨の枚数を変数として考え、金額の条件と枚数制限を同時に満たす組み合わせを数える問題です。

10円玉、50円玉、100円玉、500円玉を使い、合計15枚以内で1000円を作る方法は、全部で20通りあります。

組み合わせ問題では、条件を式に変換し、場合分けを行うことで複雑に見える問題でも整理して解くことができます。