微分可能な関数では、ある点x₀における変化率を表す導関数f'(x₀)を利用して、左右の異なる点から近づく極限を考えることができます。特に、分母がh+kのように2つの小さな変化量の和になっている式は、微分の定義をどのように利用するかがポイントになります。
この記事では、x=x₀で可微分な関数について、2点間の差分を使った極限がなぜf'(x₀)に一致するのかを、微分係数の定義から丁寧に解説します。
微分可能であることの意味
関数f(x)がx=x₀で可微分であるとは、次の極限が存在することを意味します。
lim(h→0){f(x₀+h)-f(x₀)}/h=f'(x₀)
これは、x₀からhだけ離れた点での平均変化率が、hを0に近づけることで瞬間的な変化率になることを表しています。
今回の問題では、f(x₀+h)とf(x₀-k)という2つの異なる点での値の差を考えています。そのため、直接微分の定義の形にはなっていませんが、式を分解することで導関数につなげることができます。
対象となる極限を整理する
考える式を、
lim(h→+0,k→+0){f(x₀+h)-f(x₀-k)}/(h+k)
とします。
分子を中間点f(x₀)を使って分けると、
f(x₀+h)-f(x₀-k)={f(x₀+h)-f(x₀)}+{f(x₀)-f(x₀-k)}
となります。
したがって、分数全体は、
{f(x₀+h)-f(x₀)}/{h+k}+{f(x₀)-f(x₀-k)}/{h+k}
と考えることができます。
ただし、このままでは微分係数の形にならないため、それぞれをhとkで調整して考えます。
微分係数の形に変形する
分子の2つの部分を、それぞれhとkで割る形に変形します。
まず、
f(x₀+h)-f(x₀)=h×{f(x₀+h)-f(x₀)}/h
です。
また、
f(x₀)-f(x₀-k)=k×{f(x₀)-f(x₀-k)}/k
となります。
これを代入すると、
{h/(h+k)}×{f(x₀+h)-f(x₀)}/h + {k/(h+k)}×{f(x₀)-f(x₀-k)}/k
となります。
ここで重要なのは、それぞれの差分商が微分係数に近づくことです。
hとkを0に近づけたときの極限
f(x)はx₀で可微分なので、
lim(h→0){f(x₀+h)-f(x₀)}/h=f'(x₀)
が成立します。
また、kについても、
{f(x₀)-f(x₀-k)}/k
は左側からx₀へ近づく差分商であり、可微分性によって同じく、
lim(k→0+){f(x₀)-f(x₀-k)}/k=f'(x₀)
になります。
さらに、
h/(h+k)+k/(h+k)=1
なので、元の式は2つの差分商の加重平均になります。
hとkがともに0へ近づくと、それぞれの差分商はf'(x₀)へ近づくため、全体も、
1×f'(x₀)=f'(x₀)
となります。
この極限が成立する直感的な意味
今回の式は、x₀-kからx₀+hまでの平均変化率を表しています。
つまり、
{f(x₀+h)-f(x₀-k)}/{(x₀+h)-(x₀-k)}
であり、分母はまさに2点間の距離です。
hとkを0に近づけると、2つの点はどちらもx₀に集まります。そのため、平均変化率はx₀における瞬間的な変化率、つまりf'(x₀)になります。
これは、微分とは「近くの2点間の傾き」を極限によって「1点での傾き」に変える操作であることを示しています。
まとめ｜可微分なら左右から挟む差分商も導関数になる
x=x₀で可微分な関数では、右側から近づく差分商も左側から近づく差分商も、同じf'(x₀)に収束します。
そのため、x₀+hとx₀-kという2点間の平均変化率を考えた極限も、hとkを0へ近づけることでf'(x₀)になります。
証明のポイントは、分子をf(x₀)を利用して分解し、差分商の形に変形することです。この考え方を身につけると、微分の定義を利用したさまざまな極限問題に対応できるようになります。
コメント