微分の定義を学ぶと、通常の微分係数だけでなく、左右対称な差分を使った極限も登場します。特に「f'(x0)が存在するならば、対称差分の極限が2f'(x0)になる」という関係は、微分可能性と極限の性質を理解するうえで重要です。
この記事では、対称差分商の極限について、なぜその公式が成立するのかを証明し、さらに逆向きに「対称差分商の極限が存在しても微分可能とは限らない」ことを具体的な反例を用いて解説します。
微分係数と対称差分商の関係
関数f(x)のx=x0における微分係数は、定義より次の極限で表されます。
f'(x0)=lim h→0 {f(x0+h)-f(x0)}/h
一方、今回考える式は、
lim h→0 {f(x0+h)-f(x0-h)}/h
という形をしています。これはx0を中心として、左右の点x0+hとx0-hでの関数値の差を見る「対称差分商」と呼ばれるものです。
この式が微分係数とどのように関係するのかを確認します。
f'(x0)が存在するときの証明
まず、式を次のように分けます。
{f(x0+h)-f(x0-h)}/h={f(x0+h)-f(x0)}/h+{f(x0)-f(x0-h)}/h
第1項はそのまま微分係数の定義に近い形になっています。
lim h→0 {f(x0+h)-f(x0)}/h=f'(x0)
次に第2項を考えます。
{f(x0)-f(x0-h)}/h
ここでk=-hと置き換えると、h→0のときk→0となります。
{f(x0)-f(x0-h)}/h={f(x0+k)-f(x0)}/(-k)
=-{f(x0+k)-f(x0)}/k
したがって、
lim h→0 {f(x0)-f(x0-h)}/h=f'(x0)
となります。
以上より、元の極限は、
lim h→0 {f(x0+h)-f(x0-h)}/h=f'(x0)+f'(x0)
=2f'(x0)
となり、f'(x0)が存在すれば必ず対称差分商の極限は2f'(x0)になることが示されます。
逆が成立しない理由
次に、「対称差分商の極限が存在するならば、f'(x0)も存在する」という逆の主張を考えます。
しかし、この主張は正しくありません。なぜなら、対称差分商は左右の変化を同時に見るため、左側と右側の違いを打ち消してしまう場合があるからです。
つまり、対称差分商が存在していても、通常の微分係数を決める片側の変化が一致しているとは限りません。
具体的な反例：絶対値関数
反例として、
f(x)=|x|
を考えます。x0=0とします。
まず通常の微分係数を調べます。
f'(0)=lim h→0 {|h|-|0|}/h=lim h→0 |h|/h
h>0のときは、
|h|/h=1
ですが、h<0のときは、
|h|/h=-1
になります。
左右の極限が一致しないため、
f'(0)は存在しません。
しかし、対称差分商を計算すると、
{f(h)-f(-h)}/h
となります。
|h|と|-h|は同じ値なので、
{|h|-|-h|}/h=0/h=0
です。
したがって、
lim h→0 {f(h)-f(-h)}/h=0
となり、対称差分商の極限は存在します。
しかし、f'(0)は存在しません。
この例によって、「対称差分商の極限が存在しても微分可能とは限らない」ことが分かります。
対称差分商と微分可能性の違い
通常の微分係数は、点x0から右へ近づいた場合と左へ近づいた場合の変化率が一致することを要求します。
一方、対称差分商は左右を同時に比較するため、左右の違いが隠れてしまうことがあります。
例えば、絶対値関数のグラフではx=0で尖った形になっており、左右の傾きは異なります。しかし、左右対称の位置を比較すると変化が打ち消されてしまいます。
そのため、対称差分商の存在は微分可能性よりも弱い条件になります。
まとめ｜対称差分商から分かる微分の重要な性質
f'(x0)が存在する場合、微分係数の定義を利用して、
lim h→0 {f(x0+h)-f(x0-h)}/h=2f'(x0)
が成立します。
しかし、その逆である「対称差分商の極限が存在するならばf'(x0)も存在する」は成立しません。
反例としてf(x)=|x|を考えると、対称差分商の極限は0になりますが、通常の微分係数は存在しません。
この違いを理解することは、極限・連続性・微分可能性の関係を正しく理解するための重要なポイントになります。
コメント