2階線形微分方程式を解く際には、既知の特殊関数の微分方程式へ変形することで解法を見つけやすくなる場合があります。特にベッセルの微分方程式は、物理学や工学で現れる円筒座標系の問題などで重要な役割を持っています。
ここでは、微分方程式 xy”+by’-a²y=0（a≠0） を適切な変数変換によってベッセルの微分方程式の形へ変換する流れを詳しく解説します。
ベッセルの微分方程式の基本形を確認する
まず、ベッセルの微分方程式の標準形を確認します。次数 ν のベッセル方程式は、変数 t を用いると次の形で表されます。
t²u”+tu’+(t²-ν²)u=0
今回の目的は、与えられた微分方程式をこの形に一致させることです。そのためには、独立変数の変換と従属変数の変換を考える必要があります。
変数変換による微分方程式の整理
元の方程式は、
xy”+by’-a²y=0
です。ここで x を新しい変数 t の2乗に比例する形で置き換えます。具体的には、
x=ct²
とします。ただし c は後で決定する定数です。
この変換によって、x に関する微分を t に関する微分へ変換します。
dx/dt=2ct なので、
d/dx=(1/(2ct))d/dt
となります。
2階微分の変換を行う
yをtの関数u(t)として考えます。つまり、
y(x)=u(t)
と置きます。
1階微分は、
y’=u’/(2ct)
となります。
さらに2階微分は、
y”=u”/(4c²t²)-u’/(4c²t³)
となります。
これらを元の微分方程式へ代入すると、
ct²(u”/(4c²t²)-u’/(4c²t³))+b(u’/(2ct))-a²u=0
となります。
ベッセル方程式の形に合わせる
整理すると、
(1/(4c))u”+(-1/(4ct)+b/(2ct))u’-a²u=0
となります。
両辺に4cを掛けることで、
u”+((2b-1)/t)u’-4ca²u=0
を得ます。
ここでベッセル方程式の形にするため、さらに従属変数変換を行います。u=t^m v と置くことで1階微分項の係数を調整します。
従属変数変換によって標準形へ近づける
u=t^m v(t) とおくと、微分を計算することで、vについての方程式を得ることができます。
この指数 m を適切に選ぶことで、ベッセル方程式に必要な1/tの係数を1に合わせることができます。
実際には、
2m+2b-1=1
となるように m を選びます。
したがって、
m=1-b
となります。
この変換によって、方程式はベッセル型の2階微分方程式へ整理されます。
変換後に得られるベッセル方程式
以上の変換を組み合わせることで、元の方程式はベッセル方程式
t²v”+tv’+(t²-ν²)v=0
の形になります。
ここで次数 ν は係数 b によって決まり、
ν=|1-b|
という関係になります。
また、変数 t は定数 a を含む形で選ぶ必要があり、a≠0という条件によってベッセル方程式への変換が可能になります。
まとめ｜微分方程式を標準形へ変換する考え方
微分方程式 xy”+by’-a²y=0 は、そのままではベッセル方程式の形には見えませんが、独立変数を平方根型に変換し、さらに従属変数をべき乗で変換することでベッセル型へ整理できます。
このような変換では、単に計算するだけでなく、目標となる標準形を先に確認し、係数を合わせるように変数変換を選ぶことが重要です。
ベッセル方程式への変換手法は、熱伝導、波動、電磁気学など多くの応用分野で利用されるため、特殊関数を学ぶ上で重要な考え方になります。
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