e^(xcosα)cos(xsinα) のべき級数展開は、複素指数関数を用いると非常にシンプルに処理できる典型問題です。本記事ではオイラーの公式を使いながら、収束するべき級数としての形を体系的に導出します。
複素指数関数としての捉え方
まず重要なポイントは、この関数が複素指数関数の実部として表せることです。
e^(x(cosα + i sinα)) を考えると、これは e^(x e^{iα}) ではなく e^{x(cosα + i sinα)} として扱います。
オイラーの公式 e^{iθ} = cosθ + i sinθ を利用します。
基本変形
e^{x(cosα + i sinα)} = e^{xcosα} · e^{i x sinα} と分解できます。
ここで e^{i x sinα} = cos(x sinα) + i sin(x sinα) となります。
したがって実部は e^{xcosα}cos(xsinα) になります。
複素関数のべき級数展開
指数関数の基本展開 e^z = Σ z^n / n! を用います。
ここで z = x(cosα + i sinα) を代入します。
すると Σ [x^n (cosα + i sinα)^n] / n! が得られます。
ド・モアブルの定理の利用
(cosα + i sinα)^n = cos(nα) + i sin(nα) が成立します。
これを代入すると級数は実部と虚部に分解できます。
目的は実部なので cos(nα) のみを取り出します。
求めるべき級数
実部を取ると e^(xcosα)cos(xsinα) = Σ x^n cos(nα) / n! となります。
この形が最も簡潔なべき級数展開です。
複素指数関数を用いることで一気に統一的に導けます。
まとめ
この関数は複素指数関数 e^{x(cosα + i sinα)} の実部として扱うのが核心です。
オイラーの公式とド・モアブルの定理により級数展開が直接得られます。
結果として Σ x^n cos(nα) / n! が最終形になります。
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