log xの連続性の証明｜e^x未使用で示す厳密な極限による方法とベルヌーイ不等式の活用

関数f(x)=log xがx>0で連続であることを、指数関数や微分を使わずに証明したいという問題は、解析学の基礎理解として非常に重要なテーマです。本記事では、e^xの連続性や導関数を使わず、単調性と基本的な不等式を用いてlog xの連続性を厳密に示す方法を整理します。

log xの連続性で何を示すべきか

連続性とは、任意のc>0に対してx→cのときlog x→log cが成り立つことを意味します。

つまり「差が0に近づく」こと、すなわち|log x – log c|→0を示すのが目的です。

このとき指数関数を使わずに扱うためには、差を扱いやすい形に変形する必要があります。

log x – log c = log(x/c) という基本性質を利用します。

したがって証明すべきはx/c→1のときlog(x/c)→0です。

つまり問題は「1付近でのlogの振る舞い」に帰着されます。

log xが単調増加であることを利用すると、x>1や0

ベルヌーイ不等式を使うことで、(1+t)^n ≥ 1+nt の形からlogの評価に必要な上下関係を作ることができます。

これによりlog xの増加速度を直接比較できるようになります。

x→1のとき、x=1+h（h→0）とおくことでlog(1+h)の評価に変換します。

単調性よりlog(1+h)はhの大きさに応じて0に挟み込まれる形になります。

上下から0に挟むことで極限が0であることを示すのが基本戦略です。

log x – log c = log(1 + (x-c)/c)と変形することで問題は再び1付近に帰着します。

h=(x-c)/cとおけばh→0のときlog(1+h)→0を示せば十分です。

したがって1での連続性が全ての正の実数に拡張されます。

log xの連続性は指数関数や微分を使わずとも、対数の性質と単調性で証明可能です。

特にlog(x/c)に変形して1付近の極限に帰着させることが核心となります。

ベルヌーイ不等式は評価の補助として有効であり、厳密な挟み撃ちを構成する鍵となります。