二次式の計算では、「x+y」と「xy」が与えられているときに「x²+y²」を求める問題がよく出てきます。一見すると別々の情報のように見えますが、実は基本公式を使うことでシンプルに計算できます。本記事では、√7を含む具体例をもとに考え方を整理します。
結論として、x²+y²は「(x+y)²−2xy」を使うことで求めることができます。
基本公式 x²+y²の求め方
まず重要な公式は次の関係式です。
x² + y² = (x + y)² − 2xy
この式は展開公式 (x+y)² = x² + 2xy + y² を変形したものです。
したがって、x+y と xy が分かっていれば、x²+y²は一意に求めることができます。
与えられた条件を整理する
今回の問題では次の条件が与えられています。
x + y = √7 + 3
xy = √7 − 3
この2つの値をそのまま公式に代入していきます。
(x+y)²の計算
まず x+y を二乗します。
(√7 + 3)² = 7 + 6√7 + 9 = 16 + 6√7
ここで平方公式 (a+b)² = a² + 2ab + b² を使います。
2xyの計算
次に 2xy を求めます。
xy = √7 − 3 なので、2xy = 2√7 − 6 です。
この値を先ほどの式から引いていきます。
x²+y²の最終計算
公式に代入すると次のようになります。
x² + y² = (16 + 6√7) − (2√7 − 6)
= 16 + 6√7 − 2√7 + 6
= 22 + 4√7
したがって、答えは 22 + 4√7 となります。
まとめ
x+yとxyが与えられたときは、x²+y² = (x+y)² − 2xy を使うのが基本です。
今回のように無理数が含まれていても、同じ手順で整理すれば確実に計算できます。
公式の構造を理解しておくことで、今後の二次式の問題にも応用が効くようになります。
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