線積分の問題では、式の形を丁寧に観察することで「保存力場かどうか」を見抜けるかが大きなポイントになります。今回のように分数とべき乗が混在する場合でも、構造を整理すれば計算は大きく簡略化できます。
与えられた線積分の構造を整理する
今回の線積分は次の形です。
∫(a,b)→(x,y) {(1/y – y/x^2)dx + (1/x – x/y^2)dy}
ここでベクトル場 F = (P, Q) とおくと、P = 1/y – y/x^2、Q = 1/x – x/y^2 となります。
まずはこのベクトル場が保存力場かどうかを確認することが重要です。
保存力場かどうかを判定する
保存力場であればポテンシャル関数を用いて簡単に線積分を求めることができます。
∂P/∂y を計算すると −1/y^2 − 1/x^2 となります。
∂Q/∂x を計算すると −1/x^2 − 1/y^2 となり一致します。
したがってこのベクトル場は保存力場です。
ポテンシャル関数を求める
まず P = ∂φ/∂x = 1/y – y/x^2 を x で積分します。
φ(x,y) = x/y + y/x + C(y)
次にこれを y で微分して Q と比較すると C'(y)=0 となり定数となります。
したがってポテンシャル関数は φ(x,y)=x/y + y/x です。
始点と終点で評価する
線積分はポテンシャル差で求まるため φ(x,y) の差を計算します。
φ(x,y)=x/y + y/x を用いて評価すると、終点 − 始点の形になります。
したがって積分値は (x/y + y/x) − (a/b + b/a) となります。
まとめ
今回の線積分は保存力場であるため、ポテンシャル関数を求めることで簡単に計算できます。
結果は φ(x,y)=x/y + y/x を用いた差分で表されます。
線積分ではまず保存力場かどうかの判定が最重要ポイントになります。
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